Les fonctions sinus et cosinus sont dérivables sur et, pour tout réel x, on a sin'(x) = cos(x) et cos'(x) = –sin(x).
Dérivées : La dérivée de cosinus est égale à un sinus négatif, et la dérivée de sinus est égale à un cosinus positif.
Une fonction sinus est une fonction périodique définie par l'ordonnée des points du cercle trigonométrique en fonction de la mesure des angles (en radians) du cercle. Pour travailler avec la fonction sinus, il faut définir certains termes. De plus, d'autres notions connexes peuvent être consultées.
On a ainsi : f (x) = u(x) + v(x). Pour tout x de R , u'(x) = 1 et v'(x) = 2x. On constate sur cet exemple que : f '(x) = u'(x) + v'(x) .
Règle : La règle de dérivation en chaîne
On peut écrire cette règle de manière plus succincte en utilisant la notation prime : ( 𝑢 ( 𝑣 ) ) ′ = 𝑢 ′ ( 𝑣 ) 𝑣 ′ . On peut réécrire la fonction 𝑓 ( 𝑥 ) = 𝑥 c o s sous la forme 𝑓 = 𝑢 s i n avec 𝑢 = 𝜋 2 − 𝑥 et l'on a alors les dérivées d d c o s d d 𝑓 𝑢 = 𝑢 , 𝑢 𝑥 = − 1 .
Dérivation. La fonction sinus est dérivable sur R et, pour tout x∈R, on a sin′(x)=cos(x). =sin(a)×h(cos(h)−1)+cos(a)×hsin(h).
Sa dérivée est toujours positive (ou nulle pour x = 0).
Une notation possible pour sa dérivée est df dx (on parle de «notation différentielle»). f(x + h) − f(x) (x + h) − x . On a au dénominateur une «petite» variation de x (celui-ci varie de h, qui tend vers 0), et au numérateur, la variation de f lorsque x subit cette variation.
Ces deux fonctions sont définies et dérivables sur . Formule : . Exemple : (3x2)' = 3 × 2x = 6x.
Dans cette acception, le sinus est un nombre compris entre 0 et 1. Si l'on introduit une notion d'orientation, les angles peuvent prendre n'importe quelle valeur positive ou négative, et le sinus est un nombre compris entre −1 et +1. Le sinus d'un angle α est noté sin(α) ou simplement sin α.
Il existe quatre groupes de sinus paranasaux : les sinus maxillaires, ethmoïdaux, frontaux et sphénoïdaux.
Pour la tracer, on construit un rectangle permettant d'encadrer un cycle, puis on le reproduit. Avant de tracer cette fonction, il importe de définir certains termes et leurs liens avec les paramètres a, b, h et k de la règle de la fonction sinus : f(x)=asin(b(x−h))+k. f ( x ) = a sin ( b ( x − h ) ) + k .
La dérivée de 2x est égale à 2.
Formule : Dérivée d'un quotient
En exprimant cela sous la forme d'une fraction unique, on a Δ 𝑢 𝑣 = 𝑣 ( 𝑢 + Δ 𝑢 ) − 𝑢 ( 𝑣 + Δ 𝑣 ) 𝑣 ( 𝑣 + Δ 𝑣 ) = 𝑣 Δ 𝑢 − 𝑢 Δ 𝑣 𝑣 ( 𝑣 + Δ 𝑣 ) .
La fonction exponentielle est dérivable sur Ë. Elle est sa propre dérivée, ce qui signifie que, quel que soit x : exp'(x) = exp (x) Si f(x) = ex, alors f'(x) = ex. Dem : ln ( exp (x) ) = x, les dérivées de ces deux fonctions sont donc toutes les deux égales à 1. d'où exp'(x) = exp(x).
La dérivée de 1 est nulle, car c'est une constante. Le même résultat est obtenu lors du calcul de la dérivée d'un nombre quelconque.
La dérivée d'une fonction permet : De calculer le coefficient directeur et donc l'équation d'une tangente. De déterminer, avant de faire un graphique, les intervalles où la fonction est croissante ou décroissante.
Les dérivées des fonctions puissances, inverses et racines se calculent avec la formule suivante : si f(x) = xn+a, alors f '(x) = nxn-1+a. Pour aider nos lecteurs, voici un très bon rappel du tableau des dérivées. On s'explique : Si f(x) = x²+1, alors on note sa dérivée f ' (x) = 2x +0, soit 2x.
La fonction inverse a pour formule f ( x ) = 1 x et son ensemble de définition est R ∖ { 0 } . La dérivée de la fonction inverse est f ( x ) = − 1 x 2 . Elle est donc décroissante sur son ensemble de définition.
si la dérivée seconde s'annule et change de signe, on a un point d'inflexion, la courbure de la courbe s'inverse.
Le plus simple est de transformer l'équation par une égalité entre deux cosinus en remplaçant le sinus. On utilise pour cela une formule d'angles associés, par exemple sin(y)=cos(π2−y).
Formules fondamentales :
sin² x + cos² x = 1.
Dans un triangle rectangle, le sinus d'un angle est égal au rapport de la longueur du côté opposé à cet angle sur la longueur de l'hypoténuse.