Théorème : Soit I un intervalle de R et f:I→R f : I → R dérivable. Alors : f est croissante sur I si et seulement si, pour tout x∈I x ∈ I , f′(x)≥0 f ′ ( x ) ≥ 0 ; f est strictement croissante sur I si et seulement si f′≥0 f ′ ≥ 0 et si f′ n'est identiquement nulle sur aucun intervalle [a,b]⊂I [ a , b ] ⊂ I avec a<b .
On dit qu'une fonction f est strictement croissante ssi pour x et y dans le DD de f , si on a x < y, on a aussi f (x) < f (y). En langage plus formel, ça donne ∀x,y ∈ DD(f ),x < y ⇒ f (x) < f (y). La fonction cube x ↦→ x3 est strictement croissante, bien que sa dérivée s'annule (en zéro).
On dit que la fonction est strictement croissante sur l'intervalle [a,b] si la courbe représentant la fonction monte sur cet intervalle; elle est strictement décroissante sur l'intervalle [a,b] si la courbe descend sur cet intervalle.
Partie 1 : Fonctions croissantes et fonctions décroissantes
Lorsqu'on se promène sur la courbe en allant de la gauche vers la droite : Sur l'intervalle [0 ; 2,5], on monte, on dit que la fonction est croissante. Sur l'intervalle [2,5 ; 5], on descend, on dit que la fonction est décroissante.
Pour déterminer les intervalles de croissance et de décroissance strictes d'une fonction, on peut étudier sa dérivée, ? ′ ( ? ) . Si ? est dérivable sur un intervalle ouvert, alors ? est strictement croissante sur les intervalles où ? ′ ( ? ) > 0 et est strictement décroissante sur les intervalles où ? ′ ( ? ) < 0 .
En mathématiques, une fonction monotone est une fonction entre ensembles ordonnés qui préserve ou renverse l'ordre. Dans le premier cas, on parle de fonction croissante et dans l'autre de fonction décroissante.
Les fonctions constantes sont les seules fonctions simultanément croissantes et décroissantes. Toute fonction affine est monotone (strictement croissante si le taux d'accroissement est strictement positif, strictement décroissante si le taux d'accroissement est négatif).
La courbe en cloche ou courbe de Gauss est l'une des courbes mathématiques les plus célèbres. On la voit apparaître dans un grand nombre de situations concrètes — en statistiques et en probabilités — et on lui fait souvent dire tout et n'importe quoi.
Si [a,b] est un intervalle du domaine d'une fonction f, on dit que la fonction f est décroissante dans l'intervalle [a,b] si et seulement si pour tout élément x1 et x2 de [a,b], si x1<x2, alors f(x1)≥f(x2).
L'ordre croissant est une disposition de nombres allant du plus petit au plus grand. L'ordre décroissant est une disposition de nombres allant du plus grand au plus petit. Les nombres peuvent être ordonnés du plus petit au plus grand ou dans le sens inverse.
Fonction mathématique, f définie sur un intervalle I est dite décroissante sur I si pour tous réels a et b appartenant à I tels que a < b, on a f(a) > f(b).
Conclure. Si le signe de la différence est positif ou nul pour tout n, la suite est croissante. Si le signe de la différence est négatif ou nul pour tout n, la suite est décroissante. Si la différence change de signe en fonction de la valeur de n, la suite n'est pas monotone.
Définition. Fonction croissante : Soit f une fonction et I un intervalle contenu dans l'ensemble de définition de cette fonction. Pour tout nombre u et v de I, dire que f est strictement croissante sur I signifie que si u < v u < v u<v, alors f ( u ) < f ( v ) f(u) < f(v) f(u)<f(v).
Idée : si f n'est pas monotone, il existe (a\) et b avec a<b et f(a)=f(b). Alors, quitte à changer f en −f, f admet un maximum atteint en un point c de ]a,b[, avec f(c)>f(a). Comme f(I) est ouvert, il existe d tel que f(d)>f(c), donc d est hors de [a,b].
On place les valeurs pour lesquelles f change de sens de variation dans la première ligne du tableau de variations. On trace une flèche qui monte dans la deuxième ligne du tableau lorsque f est croissante et une flèche qui descend lorsque f est décroissante.
Dresser un tableau de variation à partir d'une courbe
Les reporter sur la première ligne du tableau. Faites ensuite correspondre dans la deuxième ligne une flèche montante pour chaque intervalle où la fonction est croissante, et une flèche descendante lorsqu'elle est décroissante.
Rappel : Dire qu'une suite (Un) est croissante signifie que pour tout entier n, Un+1 Un. Dire qu'une suite (Un) est décroissante signifie que pour tout entier n, Un+1 Un.
Propriété : (un) est une suite arithmétique de raison r. - Si r > 0 alors la suite (un) est croissante. - Si r < 0 alors la suite (un) est décroissante.
Quelle est la définition d'un maximum de fonction ? Pour toute fonction f définie sur un intervalle I , en prenant m un réel de cet intervalle, si f(x)<=f(m) f ( x ) <= f ( m ) sur la totalité de l'intervalle I alors f atteint son maximum en x=m sur I .
point d'origine
Point dont les valeurs de X et Y (graphique en 2D) et les axes X, Y et Z (graphique en 3D) sont égales à zéro.
Notamment: parabole, hyperbole, ellipse, logarithme, exponentielle.
L'axe horizontal (axe des abscisses, ou axe des x) est utilisé pour représenter la variable indépendante, alors que l'axe vertical (axe des ordonnées, ou axe des y) est utilisé pour représenter la variable dépendante.
Les suites 'monotones' sont les suites croissantes ou décroissantes. Les suites 'strictement monotones' sont les suites strictement croissantes ou strictement décroissantes. Une suite est dite 'stationnaire' ou 'constante' si tous ses termes sont égaux.
Pour déterminer un antécédent d'un nombre à l'aide d'une formule, il faut remplacer f ( x ) f(x) f(x) par la valeur du nombre dans la formule puis trouver une valeur de x qui la vérifie.
A retenir : a est l'abscisse d'un point d'inflexion de la courbe si la dérivée seconde s'annule en changeant de signe en a. Si la dérivée première s'annule en changeant de signe en a, alors a est l'abscisse d'un extremum.