La définition de fonctions dérivables s'étend à une fonction à valeurs complexes. On démontre que f:I→C f : I → C est dérivable si et seulement Re(f) ℜ e ( f ) et Im(f) ℑ m ( f ) sont dérivables.
f (x0) = f1 (x0) + if2 (x0). On dit qu'une fonction f est dérivable sur un intervalle I lorsque f est dérivable en tout point de I. On note f la fonction dérivée de f qui à tout x ∈I associe f (x). Si g ne s'annule pas sur I, f g est aussi dérivable sur I et ( f g ) = f g − fg g2 .
La dérivabilité se démontre usuellement de deux façons : dans l'étude locale (c'est-à-dire en se plaçant dans un voisinage du point étudié), en utilisant directement la définition de l'existence du nombre dérivé à l'aide de limites.
– une fonction rationnelle (quotient de deux polynômes) est dérivable sur son ensemble de définition, et sa dérivée est une fonction rationnelle. En effet, nous avons vu que les fonctions de la forme x ↦→ xn sont dérivables sur tout R.
Dans ce cas, la limite est notée f′(a) . Une fonction f:I→R f : I → R est donc dérivable en a si et seulement s'il existe α∈R α ∈ R et une fonction ε définie dans un intervalle J ouvert contenant 0 , vérifiant limh→0ε(h)=0 lim h → 0 ε ( h ) = 0 tels que ∀h∈J, f(a+h)=f(a)+αh+hε(h).
Une fonction n'est pas dérivable en un réel a de son domaine si notamment la dérivée à gauche en ce point est différente de la dérivée à droite en ce même point.
En mathématiques, une fonction continue nulle part dérivable est une fonction numérique qui est régulière du point de vue topologique (c'est-à-dire continue) mais ne l'est pas du tout du point de vue du calcul différentiel (c'est-à-dire qu'elle n'est dérivable en aucun point).
La continuité en un point n'implique pas la dérivabilité en ce point. La fonction valeur absolue en est un contre-exemple. −3.
La fonction valeur absolue prenant deux valeurs différentes suivant les valeurs de x, sa dérivée fera de même. Si x < 0, sa dérivée vaut −1. Si x > 0, sa dérivée vaut 1. La fonction valeur absolue n'est pas dérivable en 0.
D'après le théorème des fonctions réciproques, la fonction est dérivable en tout point image d'un tel que. Mais on a : f ′ ( x ) = 0 ⇔ x = 0 , donc est dérivable en tout point autre que. Donc est dérivable sur. Représentation graphique de et de dans un repère orthonormé.
Se dit d'une fonction qui a une dérivée. (On distingue, selon les cas, les fonctions dérivables à droite ou à gauche, dérivables sur un intervalle ouvert ou fermé, dérivables n fois ou indéfiniment dérivables.)
Oui. Si on note f la fonction RAC. On a lim(f) =f(0) quand x → 0. Mais f n'est pas dérivable en 0 car f '(x) = 1 / (2RAC(x)) n'est pas définie en 0 (tangente verticale).
Si une fonction est continue sur un intervalle, sa représentation graphique est en un seul morceau. Si la fonction est dérivable, sa représentation graphique admet une tangente en chacun de ses points.
La fonction racine carrée n'est pas dérivable dans son ensemble de définition. Dérivable pour tous réels strictement positifs : sauf zéro.
[f(g(x))]' =f'(g(x))&×g'(x). Cette formule permet par exemple de calculer la dérivée de f : x ↦ sin(x²) car f est la composée x ↦ x² suivie de x ↦ sin(x).
Fonctions composées - Points clés
La composition de deux fonctions dérivables est également une fonction dérivable. La dérivée d'une fonction composée, f ∘ g , se calcule en utilisant la formule ( f ∘ g ) ′ ( x ) = g ′ ( x ) × f ′ ( g ( x ) ) .
En mathématiques, la dérivée d'une fonction d'une variable réelle mesure l'ampleur du changement de la valeur de la fonction (valeur de sortie) par rapport à un petit changement de son argument (valeur d'entrée). Les calculs de dérivées sont un outil fondamental du calcul infinitésimal.
Lorsqu'une fonction n'est pas linéaire, sa pente peut varier d'un point à l'autre. Il nous faut donc introduire la notion de dérivée qui permet d'obtenir la pente en tout point de ces fonctions non linéaires.
Soient I un intervalle de R, f : I → R une fonction dérivable et a ∈ I. On dit que f est deux fois dérivable en a si f est dérivable en a. La dérivée de f en a s'appelle la dérivée seconde de f en a et se note f (a). On dit que f est deux fois dérivable si f est dérivable.
Sa dérivée est toujours positive (ou nulle pour x = 0).
Voici un exemple. La fonction f(x) = x² est dérivable en 5 et son nombre dérivé vaut 10. Donc, la fonction carrée est dérivable en 5 et f '(5) = 10.
La fonction valeur absolue n'est donc pas dérivable en 0.
Par contre : la courbe admet deux demi-tangentes en 0.
Propriété La fonction valeur absolue f est strictement décroissante sur ] - \infty \: ; 0 ] et strictement croissante sur [ 0 \: ; + \infty [. Son minimum sur \mathbb { R } est 0 et il est atteint pour x = 0 . Démonstration Sur ] - \infty \: ; 0 ], f est définie par f(x) = -x .
La valeur absolue d'un nombre réel correspond à la distance qui sépare ce nombre de l'origine sur une droite numérique. Ainsi, la distance entre 0 et –10 est la même qu'entre 0 et 10. La valeur absolue de x et de –x est x et on peut écrire : | –x | = | x | = x.
La fonction valeur absolue est continue en 0, mais elle n'est pas dérivable en 0. Soit f une fonction continue sur un intervalle I. Si a et b sont deux réels de I et si k est un réel compris entre f(a) et f(b), alors il existe au moins un réel x compris entre a et b tel que f(x) = k.