Les nombres 12 et 20 ont donc trois diviseurs communs : 1 ; 2 et 4.
Un diviseur est un nombre avec lequel tu peux diviser un autre nombre en n'ayant pas le reste. Le nombre 20 a donc six diviseurs: 20, 10, 5, 4, 2 et 1.
Dans l'opération 12 ÷ 4 = 3, le nombre 4 est le diviseur entier de 12 car le reste de cette division est nul. Les diviseurs entiers (positifs) de 12 sont {1, 2, 3, 4, 6, 12}.
Les diviseurs de 12 sont : 1;2; 3; 4 ; 6 ; 12. Les diviseurs de 15 sont : 1; 3; 5 ; 15. Donc : pgcd(12; 15) = 3.
´ Les diviseurs communs à 12 et 18 sont : 1, 2, 3, 6. ´ 1 est le seul diviseur commun à 45 et 28. ´ PGCD(45; 28) = 1. Définition On dit que deux nombres entiers (non nuls) a et b sont premiers entre eux si leur PGCD est égal à 1.
Les diviseurs communs à deux nombres
Les diviseurs communs à 12 et 30 sont donc les nombres : 1, 2, 3 et 6. Si d est un diviseur commun à a et b, avec a\lt b, alors d est un diviseur de b - a. Si d est un diviseur commun à a et b, avec a\gt b, alors d est un diviseur de a - b.
Un diviseur commun à deux ou plusieurs nombres entiers est un nombre entier qui divise chacun d'eux. Exemple : 36 = 12 × 3 et 24 = 12 × 2. Donc 12 est un diviseur commun à 36 et à 24.
Par exemple, le PGCD de 16 et 24 est 8, car il s'agit du plus grand diviseur commun entre 16 et 24.
Diviseurs de 24 : 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 et leurs opposés. Diviseurs de 60 : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60 et leurs opposés. Diviseurs communs de 24 et 60 : 1, 2, 3, 4, 6, 12 et leurs opposés. Le plus grand de ces diviseurs est 12.
Pour trouver le nombre de diviseurs de tout nombre, on décompose le nombre donné en facteurs premiers ; puis on fait le produit du nombre de diviseurs de chaque facteur. Par exemple, 180 a 18 diviseurs. On décompose 180 ainsi : 22 × 32 × 5. Le nombre de diviseurs de 22 est 3 ; celui de 32 est 3 et celui de 5 est 2.
Les multiples de 12 sont 12, 24, 36, etc. Les multiples de 8 sont 8, 16, 24, etc.
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En arithmétique élémentaire, le plus grand commun diviseur ou PGCD de deux nombres entiers non nuls est le plus grand entier qui les divise simultanément. Par exemple, le PGCD de 20 et de 30 est 10, puisque leurs diviseurs communs sont 1, 2, 5 et 10.
20, 40, 60, 80, 100, 120, 140, 160, 180, etc. sont tous des multiples de 20. 30, 60, 90, 120, 150, 180, 210, etc.
Les facteurs de 20 sont : 1, 2, 4, 5, 10, 20.
Le plus grand des diviseurs commun à 12 et 30 est 6 donc PGCD(12 ; 30) = 6. Remarque : il existe d'autres méthodes de détermination du PGCD de deux nombres entiers plus efficaces, notamment la méthode des soustractions successives et l'algorithme d'Euclide qui sont détaillées dans la fiche suivante.
Calculer le PPCM
Le plus petit commun multiple est le produit de tous les facteurs dans le plus grand nombre de leur occurrence. Le plus petit commun multiple de 12 et 16 est 48.
Le plus petit multiple commun de 15,20 est le résultat de la multiplication de tous les facteurs premiers le plus grand nombre de fois qu'ils apparaissent dans un nombre ou l'autre. Multipliez 2⋅2⋅3⋅5 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 5 .
D'ailleurs, une astuce nous permettait de deviner immédiatement que 20 n'est pas premier puisqu'il est divisible par 5 : en effet, un nombre terminant par un 0 ou un 5 est forcément divisible par 5. Le dernier chiffre de 20 est ici 0, donc il est divisible par 5, donc n'est pas premier.
Par exemple, 6 est le plus grand diviseur commun de 24 et 42, parce que 6 divise 24 (24/6 = 4, reste 0), 6 divise 42 (42/6 = 7, reste 0), et aucun nombre plus gran que 6 ne divise a la fois 24 et 42: 7 divise 42 mais pas 24, 8 divise 24 mais pas 42, 9 ne divise aucun des deux, ...
Définition : Un nombre abondant est un nombre entier naturel N non nul dont la somme des diviseurs (hormis N ) est supérieure à N . Exemple : 12 a pour diviseurs 6, 4, 3, 2 et 1. Or la somme 6+4+3+2+1=15 6 + 4 + 3 + 2 + 1 = 15 est supérieure à 12, donc 12 est un nombre abondant.
Le plus petit commun multiple de 10, 16 et 20 est 80.