le produit scalaire de deux vecteurs est un nombre réel; les deux opérandes d'un produit scalaire sont des vecteurs; les opérandes de la multiplication d'un vecteur par un scalaire sont un vecteur et un nombre réel; le résultat de la multiplication d'un vecteur par un scalaire est un vecteur.
Pour calculer un produit scalaire, il faut appliquer la bonne formule en fonction des données que nous avons. Autrement dit, si nous avons les composantes des vecteurs, nous utiliserons la formule u → ⋅ v → = u x v x + u y v y .
Si l´angle (OA,OB) est inférieur à PI/2 le produit scalaire est positif, si cet angle est supérieur à PI/2 le produit scalaire est negatif et si cet angle est égal à PI/2 le produit scalaire est nul.
(d) Le produit scalaire de deux vecteurs. Il s'agit d'une opération de multiplication entre deux vecteurs donnant comme résultat un scalaire, c'est-à-dire un nombre. Il est noté en général avec un point →u⋅→v. Pour le distinguer de la multiplication usuelle, nous le noterons →u⊙→v.
Définition (Produit scalaire) On dit que l'application f : E × E → R est un produit scalaire si : (a) ∀(u, u , v, v ) ∈ E4, ∀(α, β) ∈ R2, f(αu + βu ,v) = αf(u, v) + βf(u ,v) : on dit que f est linéaire `a gauche.
Le produit scalaire possède de multiples applications. En physique, il est, par exemple, utilisé pour modéliser le travail d'une force. En géométrie analytique il permet de déterminer le caractère perpendiculaire de deux droites ou d'une droite et d'un plan.
Si ⃗ AB et ⃗ CD sont deux vecteurs colinéaires non nuls, alors : 1er cas, vecteurs de même sens : ⃗ ⋅ C D ⃗ = A B × C D \vec {AB}\cdot \vec {CD}=AB\times CD AB ⋅CD =AB×CD.
Le cas réel. pour tous v, w, v , w ∈ V et a, b, a ,b ∈ F. Elle est définie positive si ϕ( v, v) ≥ 0 pour tout v ∈ V , et ϕ( v, v) = 0 si et seulement si v = 0. Un produit scalaire sur V est une forme bilinéaire, symétrique, et définie positive.
Deux vecteurs non nuls sont orthogonaux si, et seulement si, u ⋅v =0.
Le produit scalaire et le produit vectoriel sont deux calculs réalisés à partir deux vecteurs de même nombre de composantes. Ils ont en revanche des différences fondamentales: Avec le produit scalaire on obtient un scalaire (c'est-à-dire un nombre) tandis qu'avec le produit vectoriel on obtient un vecteur.
Si ϕ : E × E → C est un produit scalaire, alors ϕ(x,y) est noté 〈x|y〉. Si ϕ : E × E → K est un produit scalaire, alors ϕ(x,y) est noté 〈x|y〉. Si 〈·|·〉 est un produit scalaire sur E alors pour tout x ∈ E, 〈x|x〉 ≥ 0. On pose alors x = √〈x|x〉 qu'on appelle la norme de x.
Si les deux vecteurs ont le même sens, alors leur produit scalaire sera toujours un nombre POSITIF. Mais, si les vecteurs sont de sens opposés, alors leur produit scalaire sera NEGATIF. Si un des vecteurs est nul ( égal à 0) alors le produit scalaire des deux vecteurs est nul (égal à 0).
Le double produit vectoriel permet de calculer un produit vectoriel effectué deux fois. La formule du double produit vectoriel est u → ∧ ( v → ∧ w → ) = ( u → ⋅ w → ) v → − ( u → ⋅ v → ) w → .
Le vecteur nul a une longueur égale à 0, mais n'a ni direction, ni sens.
Le produit vectoriel est commutatif, quel que soit l'ordre dans lequel interviennent les deux vecteur, le résultat reste le même.
D'après le cours, deux droites sont orthogonales si et seulement si leurs vecteurs directeurs sont orthogonaux, c'est-à-dire si le produit scalaire de ces deux vecteurs est nul.
La formule du produit scalaire avec le cosinus va nous permettre d'obtenir un résultat très intéressant pour les vecteurs colinéaires, car deux vecteurs colinéaires de même sens forment un angle nul (cos 0 = 1) et deux vecteurs colinéaires de sens opposé forment un angle plat égal à л (cos π-1 ).
Le déterminant de u et v est le réel det(u ;v )=xy′−yx′. Propriété : Deux vecteurs sont colinéaires si, et seulement si, leur déterminant est nul. Le déterminant de u (−3 ;9) et v (1 ;−3) est det(u ;v )=(−3)×(−3)−9×1=0.
Si le produit scalaire de deux vecteurs est nul, on dit que ces vecteurs sont orthogonaux. Pour que deux vecteurs non nuls aient un produit scalaire nul, il faut que leurs droites d'application soient perpendiculaires (ainsi, le projeté orthogonal du deuxième sur le premier est un point, de longueur nulle).
où le point centré représente le produit scalaire(*). La vérification du fait que ce produit est associatif est aisée. Elle repose sur deux propriétés classiques du produit vectoriel, à savoir le fait qu'il agit par applications antisymétriques et l'identité du double produit vectoriel.
Il vaut 0, et ce quelque soit le produit scalaire considéré. Autrement dit, le vecteur nul est orthogonal à tout vecteur de l'espace.
le produit vectoriel de deux vecteurs est nul si et seulement si ces deux vecteurs sont colinéaires.
Le produit vectoriel est une opération qui peut être appliquée à deux vecteurs et qui produit un autre vecteur. Le produit vectoriel est utilisé dans de nombreux domaines de la physique. Il peut notamment être utile pour calculer le couple sur un objet.
Pour savoir si →u, →v et →w sont coplanaires:
On cherche si deux vecteurs sont colinéaires parmi les 3. Pour cela, on regarde si leurs coordonnées sont proportionnelles. - S'il y a 2 vecteurs colinéaires alors les 3 vecteurs sont toujours coplanaires. - Sinon on cherche 2 nombres a et b tels que →w=a→u+b→v.
La norme d'un vecteur correspond à sa longueur, c'est-à-dire à la distance qui sépare les deux points qui définissent le vecteur.