En mathématiques, et plus précisément en topologie, on dit d'un espace qu'il est compact s'il est séparé et vérifie la propriété de Borel-Lebesgue. La compacité revêt une importance fondamentale en topologie, et possède des applications dans de nombreux domaines des mathématiques.
Par définition de ·∞, un ensemble X est borné s'il est inclus dans un pavé [−a,a]N, qui est compact. Si de plus X est fermé, c'est un fermé dans un compact, donc il est compact.
Une partie K de E est dite compacte si, de toute suite (un) d'éléments de K , on peut extraire une sous-suite convergente vers un élément de K . En particulier, toute réunion finie ou toute intersection quelconque de parties compactes est compacte.
On appelle intervalle compact de R un intervalle fermé et borné du type [a,b] avec a ≤ b deux réels. Le mot ≪ compact ≫ fait référence `a la propriété de Bolzano- Weierstrass vue au premier chapitre. Dans ce chapitre, nous allons utiliser cette propriété topologique de compacité pour obtenir de la continuité uniforme.
∅ admet une unique topologie, qui est {∅}. Elle est à la fois grossière (donc cet espace topologique est connexe) et discrète (donc cet espace est compact, comme tout espace fini discret).
les compacts de R sont les fermés bornés de R. Concretement, ce sont les ensembles fermés inclus dans un ensemble [a,b]. On ne peut pas les lister exhaustivement je pense. Je pense qu'on peut aussi dire que c'est les unions finies d'intervalles férmés.
⋄ un ensemble qui ne contient qu'un seul élément s'appelle un singleton.
dense, dru, épais, ferme, fourni, resserré, serré, tassé, touffu. Contraire : clair, clairsemé, diffus, dispersé, éparpillé, épars, ténu.
Tout espace métrique fini est compact. L'ensemble R des nombres réels n'est pas compact.
Ainsi ℝ n'est pas compact, puisque la fonction identité, qui à x associe x lui-même, est continue mais non bornée. Ce même ensemble, privé du nombre 0 n'est pas davantage compact, comme on le voit en considérant la fonction inverse qui à x associe 1 /x.
Compact, concis, condensé.
Une partie d'un espace métrique est dite bornée si la distance entre ses points est majorée par un réel fixé, autrement dit si son diamètre est fini. En ce sens, les bornés de la droite réelle sont bien les parties majorées et minorées, c'est-à-dire les parties incluses dans des intervalles bornés.
La compacité d'un bâtiment est le rapport de la surface des parois en contact avec une zone non chauffée, appelée paroi déperditive, par le volume chauffé. La règle est qu'à volume chauffé égal, plus un bâtiment est compact, plus la surface des parois déperditives est faible.
Pour démontrer qu'un espace vectoriel normé E est un espace de Banach, la méthode usuelle est la suivante : on considère une suite (xn) de Cauchy de E . on fabrique une limite possible de la suite (xn) , que l'on notera x . Bien souvent, pour ce point, on utilise qu'un autre espace est complet.
Une partie B d'un espace vectoriel topologique E est dite bornée si pour tout voisinage V du vecteur nul, il existe un scalaire α tel que B soit incluse dans l'ensemble, noté αV, des vecteurs de la forme αx avec x dans V.
Un espace métrique est complet si et seulement si toute suite décroissante de fermés non vides dont la suite des diamètres tend vers 0 a une intersection non vide (voir Théorème des fermés emboîtés).
On dit que X est dense dans R si tout intervalle ouvert non vide I de R rencontre X (c'est-à-dire contient au moins un élément de X). Proposition 0.2. Soit X une partie de R. Pour que X soit dense dans R il faut et il suffit que tout point de R soit limite d'une suite d'éléments de X.
L'ensemble des nombres réels R est souvent représenté par une droite. C'est un espace de dimension 1.
Un recouvrement d'un ensemble E est une famille (Xi)i∈I d'ensembles dont l'union contient E, c'est-à-dire telle que tout élément de E appartient à au moins l'un des Xi.
compact adj. Dont les parties sont étroitement serrées et ne se séparent... compact n.m. Appareil de photo compact.
brumeux, gris, noir, obscur, sombre, voilé.
Contraire : clarté, jour, lumière.
Le symbole de l'infini, en mathématiques et au-delà des mathématiques, est « ∞ », inventé par le mathématicien John Wallis au XVII e siècle, signe dont l'origine est controversée et dont la forme peut évoquer un « 8 » horizontal (mais ce n'est pas en référence au chiffre 8 que ce signe fut choisi) ; cette forme a été ...
On a donc x ∈ {x} (et pas x = {x}). Un ensemble `a deux éléments est appelé une paire.
L'Univers, au sens cosmologique, est l'ensemble de tout ce qui existe, décrit à partir d'observations scientifiques et régi par des lois physiques.