anguleux, anguleuse Se dit d'un point d'une courbe où la demi-tangente à droite et la demi-tangente à gauche n'ont pas le même support.
point anguleux. Un point anguleux sur une courbe est un point admettant des demi-tangentes à droite et à gauche non colinéaires , ce qui correspond à l'existence de dérivées à droite et à gauche différentes pour la fonction explicite associée.
Définition : Un point du graphe d'une fonction est un point de rebroussement ssi la dérivée à gauche de ce point n'est pas égale à la dérivée à droite et que ces deux dérivées sont infinies.
Une fonction réelle d'une variable réelle est dérivable en un point a quand elle admet une dérivée finie en a, c'est-à-dire, intuitivement, quand elle peut être approchée de manière assez fine par une fonction affine au voisinage de a.
La dérivée d'une fonction en 𝑥 = 𝑥 est définie par l i m → 𝑓 ( 𝑥 + ℎ ) − 𝑓 ( 𝑥 ) ℎ . Une autre définition équivalente de la dérivée est l i m → 𝑓 ( 𝑥 ) − 𝑓 ( 𝑥 ) 𝑥 − 𝑥 . Une fonction n'est pas dérivable lorsque cette limite n'existe pas.
En mathématiques, une fonction continue nulle part dérivable est une fonction numérique qui est régulière du point de vue topologique (c'est-à-dire continue) mais ne l'est pas du tout du point de vue du calcul différentiel (c'est-à-dire qu'elle n'est dérivable en aucun point).
Les fonctions discontinues sont non dérivables en tout point où elles sont discontinues.
Définition : Continuité d'une fonction en un point
On dit qu'une fonction à valeur réelle 𝑓 ( 𝑥 ) est continue en 𝑥 = 𝑎 si l i m → 𝑓 ( 𝑥 ) = 𝑓 ( 𝑎 ) .
Soient I un intervalle de R, f : I → R une fonction dérivable et a ∈ I. On dit que f est deux fois dérivable en a si f est dérivable en a. La dérivée de f en a s'appelle la dérivée seconde de f en a et se note f (a). On dit que f est deux fois dérivable si f est dérivable.
Théorème Soit f une fonction définie sur un intervalle I et a ∈ I. Si f est dérivable en a Alors f est continue en a. f(x) = f(a), et donc que f est donc continue en a.
Propriété : Si trois points A B et C sont tels que l'angle ABC est nul, alors les points A B et C sont alignés.
On considère une fonction f dont on peut calculer la dérivée f′ et la dérivée seconde f′′. Dans un repère, la courbe d'équation y = f(x) représente la fonction f. Un point stationnaire est un point où la dérivée s'annule : f′(x)=0. En un point stationnaire, la tangente à la courbe est horizontale.
Si l'on veut placer dans un repère le point M(2 ;-1) On commence par tracer la parallèle à l'axe des ordonnées passant par l'abscisse 2. Puis on trace la parallèle à l'axe des abscisses passant par l'ordonnée -1.
Point de rebroussement. Point où deux branches d'une courbe se réunissent et ont la même tangente dans la même direction.
Alors f est dérivable en x0 si et seulement si f est dérivable `a droite et `a gauche en x0 et fg(x0) = fd(x0). (2) f est dérivable en a si et seulement si f est dérivable `a droite en a. (3) f est dérivable en b si et seulement si f est dérivable `a gauche en b.
En mathématiques, un zéro ou point d'annulation d'une fonction est une valeur en laquelle cette fonction s'annule.
f est convexe sur I si et seulement si sa dérivée f ' est croissante sur I. f est concave sur I si et seulement si sa dérivée f ' est décroissante sur I. Remarque : une fonction est croissante lorsque sa dérivée est positive. Il apparaît donc logique de s'intéresser au signe de la dérivée de f '(x).
La fonction f est convexe sur I si sa dérivée f ' est croissante sur I, soit f ''(x) ≥ 0 pour tout x de I. La fonction f est concave sur I si sa dérivée f ' est décroissante sur I, soit f ''(x) ≤ 0 pour tout x de I.
La dérivée seconde indique la variation de la pente de la courbe représentative et permet de mesurer la concavité locale de la courbe. Si elle est positive sur un intervalle, la pente augmente, la courbure est vers le haut, la fonction est dite « convexe » sur cet intervalle.
Soit la fonction f définie par f(x) = si x ≠ 0, et f(0) = 1. Donc la fonction f est continue en 0.
Soit une fonction f définie sur un intervalle I de R . La fonction f est croissante sur I si : ∀(a,b)∈I2, a≤b⟹f(a)≤f(b).
Une fonction f:I→R f : I → R est donc dérivable en a si et seulement s'il existe α∈R α ∈ R et une fonction ε définie dans un intervalle J ouvert contenant 0 , vérifiant limh→0ε(h)=0 lim h → 0 ε ( h ) = 0 tels que ∀h∈J, f(a+h)=f(a)+αh+hε(h).
La fonction valeur absolue n'est pas dérivable en 0.
Soit f une fonction affine définie sur par : f(x) = ax + b où a et b sont deux réels avec a ≠ 0. Alors sa dérivée est la fonction f′ définie sur par : f′(x) = a. f est de la forme u + v avec u(x) = ax et v(x) = b. Alors f′(x) = u′(x) + v′(x) = a × 1 + 0 = a.
Si le nombre dérivé est nul, la tangente, dont le coefficient directeur est alors nul, est horizontale.