Définition : On appelle vecteur directeur de d tout vecteur non nul qui possède la même direction que la droite d. Propriété : Soit un point de l'espace et {⃗ un vecteur non nul de l'espace.
Toute droite du plan admet une équation de la forme ax + by + c = 0 appelée équation cartésienne. Le vecteur est un vecteur directeur de cette droite. Il donne la direction de cette droite.
Propriété Le vecteur (-b\: ; a) est un vecteur directeur de la droite d'équation ax + by + c = 0. Logique Réciproquement, si le vecteur (-b \:; a) est un vecteur directeur de d, alors une équation cartésienne de d est ax + by + c = 0 (avec c à déterminer).
à partir d'une équation cartésienne du plan. Si le plan a pour équation cartésienne ax+by+cz=d, alors un vecteur normal du plan est le vecteur de coordonnées (a,b,c).
Un vecteur est défini par un sens, une direction et une norme. La direction du vecteur est celle de la 'droite' dans laquelle est inclus le vecteur, le sens est donné par l'orientation du segment: 'vers la gauche' ou bien 'vers la droite', la norme correspond à la longueur du segment.
Les vecteurs directeurs permettent d'étudier le parallélisme de deux droites. Théorème : Deux droites sont parallèles si, et seulement si, leurs vecteurs directeurs sont colinéaires. Il existe beaucoup de couples de vecteurs directeurs du plan.
Pour faire simple disons que la direction est l'orientation d'un segment dans l'espace et son sens un des côtés du segment, par exemple la direction verticale, horizontale, oblique (par rapport au sol) et son sens sera le haut, le bas, l'ouest, etc.
Pour montrer qu'une droite (d) est orthogonale à un plan (P), il suffit de montrer qu'un vecteur directeur de (d) est colinéaire à un vecteur normal de (P). Et réciproquement : Si (d) est orthogonale à (P) alors : tout vecteur directeur de (d) est colinéaire à un vecteur normal de (P).
Un vecteur u → = A B → est représenté par une flèche. Le point initial s'appelle l'origine du vecteur. Le point final s'appelle l'extrémité du vecteur. Le nom du vecteur est noté (ou non) au dessus de la flèche qui représente le vecteur.
Pour déterminer si un vecteur est normal à une droite (AB), on doit rechercher si et sont orthogonaux, c'est à dire si . Soit A(0 ;2) et B(1 ; 4) et . Le vecteur est-il normal à la droite (AB) ? normal à la droite (AB) signifie que et sont orthogonaux, c'est à dire que l'on a : .
On rappelle que deux droites sont parallèles si elles ont le même vecteur directeur. Comme les deux droites sont parallèles, elles ont le même vecteur directeur. On peut donc utiliser le vecteur directeur de la droite donnée pour ⃑ 𝑑 dans l'équation vectorielle de la droite recherchée.
Définitions. On appelle base de l'ensemble des vecteurs tout couple de vecteurs non-colinéaires. On appelle repère du plan tout triplé où O est un point du plan et est une base.
Vecteur directeur :
Le vecteur directeur d'une droite n'est pas unique : deux points quelconques de la droite peuvent définir un vecteur directeur. Si on a deux vecteurs ⃗ u et ⃗ v directeurs de la droite (d), alors ⃗ u et ⃗ v sont colinéaires et on a ⃗ ⃗ det(u ,v )=0.
Il est facile de déterminer un vecteur directeur. Si la droite est écrite sous forme réduite (soit y=ax+b y = a x + b ), le vecteur →u(1;a) u → ( 1 ; a ) fait l'affaire. Si son équation apparaît sous forme cartésienne, on prend →u(−β;α) u → ( − β ; α ) ou →u(β;−α) u → ( β ; − α ) .
(xB - xA ; yB - yA) est l'un des vecteurs directeurs de cette droite. Si une droite a pour équation réduite y =ax + b alors il suffit de déterminer deux points de cette droite pour trouver un vecteur unitaire.
Si sont deux vecteurs non-colinéaires du plan P, le vecteur est normal au plan P si et seulement si est orthogonal aux vecteurs . Dans un repère orthonormal, tout plan P a une équation de forme ax + by + cz + d = 0 avec a, b et c non-nuls et le vecteur est normal à P. P est le plan d'équation est normal à P.
On considère la droite (D) d'équation cartésienne 2x – 3y + 1 = 0. Déterminer un vecteur directeur de (D). 2x – 3y + 1 = 0 est de la forme ax +by + c = 0 avec a = 2; b = –3 et c =1. La propriété ci-dessus permet donc d'affirmer que le vecteur est vecteur directeur de (D).
Étymologiquement, colinéaire signifie sur une même ligne : en géométrie classique, deux vecteurs sont colinéaires si on peut en trouver deux représentants situés sur une même droite.
Un point M appartient au plan P si et seulement si il existe des réels k et k' tels que . On dira alors que les vecteurs et sont des vecteurs directeurs du plan. La donnée de deux vecteurs non colinéaires d'un plan permet aussi de définir ce que l'on appelle la direction du plan.
Deux plans sont perpendiculaires si leurs vecteurs normaux sont orthogonaux. Il est utile de remarquer que si deux plans sont confondus, alors leurs vecteurs normaux (non nuls) sont colinéaires ; l'équation de l'un des plans et alors un multiple de l'autre.
On appelle vecteur directeur de D tout vecteur non nul u ! qui possède la même direction que la droite D. ( )≠ 0;0 ( ). Cette équation est appelée équation cartésienne de la droite D.
Vocabulaire Vecteur : objet mathématique représenté par un segment fléché dont les caractéristiques sont : le point d'application, la direction, le sens et la norme (dite aussi valeur ou intensité).
On appelle droite d'action la droite qui a même direction que la force et qui passe par son point d'application.