Définitions : • Une suite est croissante si chaque terme est supérieur ou égal à son précédent : un+1 ≥ un ou: Une suite est décroissante si chaque terme est inférieur ou égal à son précédent : un+1 ≤ un ou: Une suite est monotone si elle est croissante ou si elle est décroissante.
▶ Si un+1 − un est positive, alors la suite (un) est croissante. ▶ Si un+1 − un est négative, alors la suite (un) est décroissante. b) Si tous les termes de la suite sont strictement positifs, alors il suffit de comparer le rapport un+1 un à 1. ▶ Si un+1 un ⩾ 1, alors la suite (un) est croissante.
Théorème : Soit I un intervalle de R et f:I→R f : I → R dérivable. Alors : f est croissante sur I si et seulement si, pour tout x∈I x ∈ I , f′(x)≥0 f ′ ( x ) ≥ 0 ; f est strictement croissante sur I si et seulement si f′≥0 f ′ ≥ 0 et si f′ n'est identiquement nulle sur aucun intervalle [a,b]⊂I [ a , b ] ⊂ I avec a<b .
Rappel : Dire qu'une suite (Un) est croissante signifie que pour tout entier n, Un+1 Un. Dire qu'une suite (Un) est décroissante signifie que pour tout entier n, Un+1 Un.
Suites monotones
Une suite réelle monotone est une fonction monotone (c'est-à-dire croissante ou décroissante) de ℕ dans ℝ. De même, une suite réelle est dite strictement monotone lorsqu'elle est strictement croissante ou strictement décroissante.
Si la suite u est majorée par M et convergente vers le nombre L, alors L ≤ M. Si la suite u est minorée par m et convergente vers le nombre L, alors L ≥ m. Si la suite u est croissante et non majorée, alors . Si la suite u est décroissante et non minorée, alors .
Une fonction peut-elle être ni croissante ni décroissante ? - Quora. Oui, cela s'appelle une fonction non monotone. C'est une fonction qui ne croit ni ne décroit.
Les types de suites numériques souvent rencontrées sont les suites arithmétiques et les suites géométriques. Les suites arithmétiques sont les suites où la différence entre deux termes consécutifs est une constante. En revanche, pour les suites géométriques, le quotient de deux termes consécutifs est une constante.
Si [a,b] est un intervalle du domaine d'une fonction f, on dit que la fonction f est décroissante dans l'intervalle [a,b] si et seulement si pour tout élément x1 et x2 de [a,b], si x1<x2, alors f(x1)≥f(x2).
Lorsqu'on se promène sur la courbe en allant de la gauche vers la droite : Sur l'intervalle [0 ; 2,5], on monte, on dit que la fonction est croissante. Sur l'intervalle [2,5 ; 5], on descend, on dit que la fonction est décroissante.
On dit qu'une fonction f est strictement croissante ssi pour x et y dans le DD de f , si on a x < y, on a aussi f (x) < f (y). En langage plus formel, ça donne ∀x,y ∈ DD(f ),x < y ⇒ f (x) < f (y). La fonction cube x ↦→ x3 est strictement croissante, bien que sa dérivée s'annule (en zéro).
Énoncé On appelle généralement fonction nulle la fonction constante définie sur l'ensemble des nombres réels ou complexes par : ƒ(x) = 0.
Pour montrer qu'une suite est arithmétique, il faut démontrer que u n + 1 − u n est une constante, pour tout . Pour calculer la raison d'une suite arithmétique, nous pouvons utiliser la définition par récurrence d'une suite arithmétique, u n + 1 = u n + r .
2/ Théorèmes de convergence
* Si (un) est croissante et majorée alors (un) converge. La suite « monte » mais est bloquée par « un mur » donc elle possède une limite finie. * Si (un) est décroissante et minorée alors (un) converge. La suite « descend » mais est bloquée par « un mur » donc elle possède une limite finie.
(Mathématiques) Qualifie une fonction à une seule variable, qui n'est pas continue ou uniquement croissante ou décroissante dans un intervalle donné. Cette fonction est caractérisée par une courbe en forme de "U", elle est donc non-monotone.
Toute suite croissante majorée est convergente. Toute suite décroissante minorée est convergente. Pour une suite croissante, si M est un majorant de la suite ( ), on peut seulement affirmer que ℓ ≤ M.
Une suite croissante est minorée par son premier terme, et une suite décroissante est majorée par son premier terme (sera démontré par récurrence plus tard).
La relation x ≥ y se dit x est supérieur ou égal `a y. Si x ≤ y, on dit que x minore y ou que y majore x. Soit E un sous-ensemble de R, on dit a est un majorant de E si a majore tous les éléments de E.
Une suite géométrique est une suite telle que chaque terme se déduit du précédent par la multiplication par un réel constant (également appelé la raison de la suite). Pour montrer qu'une suite (Vn) est géométrique, on montre qu'il existe un réel q constant tel que, pour tout entier n, V_{n + 1} = q \times V_n.
Une suite est une succession de nombres réels (appelés termes de la suite), comme par exemple 2,5,8,... Le mode de génération d'une suite est la façon dont cette suite est définie. Dans notre exemple, 2,5,8, chaque terme est obtenu en "ajoutant 3" au terme précédent.
Pour décrire une suite en mots, on donne l'un des termes et on indique sa raison. Le premier terme de la suite est 1 et la régularité est +2.
Une suite est convergente si elle tend vers un nombre fini ; une suite est divergente si elle tend vers l'infini ou si elle n'a pas de limite.
Si on obtient une valeur constante alors la suite (Un) est une suite arithmétique. Si on obtient une valeur qui dépend de n alors la suite n'est pas une suite arithmétique. Le terme général d'une suite arithmétique (Un) est donné par la formule suivante: Un = Up + (n-p)×r (où Up est le terme initial).