On dit qu'une fonction est continue sur un intervalle si elle est continue en tout point de l'intervalle. Aux extrémités de l'intervalle, il faut comprendre continue par continue à droite ou continue à gauche.
Notion de continuité sur un intervalle
f f f est continue sur I I I si, et seulement si, f f f est continue en tout nombre réel de I I I.
f . Dire qu'une fonction f est continue en a signifie donc que lorsque x se rapproche de a , alors f(x) se rapproche de f(a) .
Si une suite de fonctions ( ) converge simplement sur vers une fonction , si la suite ( ) converge uniformément sur tout fermé borné de et si les sont continues sur , alors est continue sur .
Définition : Soit une fonction f définie sur un intervalle I. On dit que f est continue sur I si on peut tracer la courbe représentative de f sur I "sans lever le crayon".
La fonction f est dite continue au point a si f(a) est une limite de f en ce point. Si F est séparé (ou même seulement T1) comme tout espace métrisable, il suffit pour cela qu'il existe une limite de f en ce point.
Pour démontrer qu'on ne peut pas prolonger une fonction f en un point a, on peut trouver deux suites (un) et (vn) qui tendent vers a telles que (f(un)) ( f ( u n ) ) et (f(vn)) ( f ( v n ) ) admettent des limites différentes (voir cet exercice).
Caractère de ce qui est continu ; permanence, persistance : Le succès dépend de la continuité de l'effort. 2. Caractère d'un frein dont la mise en action est simultanée sur l'ensemble d'un train.
f (I) := {f (x)|x ∈ I}. Théor`eme Soit f une fonction continue et I un intervalle contenu dans DDf . Alors f (I) est un intervalle. Autrement dit, l'image d'un intervalle par une fonction continue est un intervalle.
Si l'on veut définir une fonction sur un intervalle et obtenir sa courbe il faut saisir : Fonction[expression en fonction de x, borne inf, borne sup]. Par exemple : si on tape dans la ligne de saisie la séquence Fonction[x²,- 4,3], on obtient le tracé de la parabole sur l'intervalle [-4 ;3].
Théorème : L'image d'un intervalle fermé, borné par une fonction continue est un intervalle fermé, borné.
Soit une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle. Si a et b désignent les extrémités de l'intervalle (c'est-à-dire a ou b sont des réels ou sont les symboles − ∞ ou + ∞ ) alors les extrémités de l'intervalle sont lim x → a f ( a ) et lim x → b f ( x ) (ces limites pouvant être elles-mêmes infinies).
Rappelons que l'équation de continuité pour les fluides incompressibles est 𝐴 𝑣 = 𝐴 𝑣 , où 𝐴 est l'aire de la section transversale du premier tuyau, 𝑣 est la vitesse du fluide dans le premier tuyau, 𝐴 est l'aire de la section transversale du deuxième tuyau, et 𝑣 est la vitesse du fluide dans le deuxième ...
Le CAC doit alerter le président du conseil d'administration des faits qui peuvent compromettre la continuité de l'activité de l'entreprise (contrats importants qui arrivent à expiration, perte de la moitié du capital social, baisse du carnet de commandes, conflits sociaux, etc.).
a) La fonction f admet une limite en x0 (c'est-`a-dire, f est continue en x0) si et seulement si elle admet f(x0) comme limite `a droite et `a gauche en x0. b) Si f admet des limites distinctes `a droite et `a gauche en x0, alors f n'admet pas de limite en x0.
Pour les éventuels points pour lesquels la fonction est définie d'une autre manière, on étudie la continuité. Pour cela, on sait que si \lim\limits_{x \to a} f\left(x\right) = f\left(a\right), alors la fonction f est continue en x=a.
Le domaine de continuité de f, noté domc f, est l'ensemble des réels en lesquels f est continue. Les fonctions usuelles k (avec k∈R), x, n√x (avec n∈N0), |x|, 1/x, sinx, cosx, sont continues en tout réel a de leur domaine.
Propriété : continuité des fonctions en un point
Soient 𝑓 ( 𝑥 ) et 𝑔 ( 𝑥 ) les images de deux fonctions continues en 𝑥 = 𝑎 . Alors : les fonctions d'images 𝑓 ( 𝑥 ) + 𝑔 ( 𝑥 ) , 𝑓 ( 𝑥 ) − 𝑔 ( 𝑥 ) et 𝑓 ( 𝑥 ) 𝑔 ( 𝑥 ) sont continues en 𝑥 = 𝑎 ; la fonction d'image 𝑓 ( 𝑥 ) 𝑔 ( 𝑥 ) est continue en 𝑥 = 𝑎 si 𝑔 ( 𝑎 ) ≠ 0 .
Une application simple du théorème de Baire montre que l'ensemble des fonctions monotones quelque part est maigre dans l'ensemble des fonctions continues sur [a,b], par exemple.
On appelle intervalle l'ensemble des nombres réels compris entre deux réels positifs ou réels négatifs a et b, ou de la même façon l'ensemble des points de la droite dont la marque est entre a et b. Prenons pour exemple l'intervalle [4 ; 6]. Il désigne l'ensemble des réels x tels que 4 ≤ x et x ≤ 6.
Une suite bornée est une fonction bornée définie sur l'ensemble ℕ des entiers naturels. L'ensemble de toutes les suites bornées forme l'espace des suites bornées, noté ℓ∞. Toute fonction continue de [0, 1] dans ℝ est bornée.
Un intervalle borné est un intervalle dont les deux bornes (les extrémités) sont finies. Par exemple, ]0;5] et [1;2] sont bornés alors que [3;+∞[ ne l'est pas. Un intervalle est fermé si chacune de ses deux bornes est soit infinie, soit incluse dans l'intervalle (crochet vers l'intérieur).
Définitions : On dit qu'un intervalle est fermé si ses extrémités appartiennent à l'intervalle. On dit qu'il est ouvert dans le cas contraire. L'intervalle ]6 ; +∞[ est également un intervalle ouvert. Remarque : L'ensemble des nombres réels ℝ est un intervalle qui peut se noter ] − ∞ ; +∞[.