Une homothétie est une transformation géométrique, c'est-à-dire une règle qui associe à chaque point d'un espace un point de ce même espace. On dit aussi que c'est une application mathématique de l'espace sur lui-même.
Figure caractéristique du trapèze
avec k différent de 1, il existe deux homothéties transformant [AB] en [CD] : une de centre O' intersection des diagonales et de rapport –k et l'autre, de centre O intersection des droites (AD) et (BC) et de rapport k.
Définition. Soit un point quelconque du plan ou de l'espace et soit k un nombre réel non nul . On appelle homothétie de centre et de rapport k et on note la transformation qui à pour tout point M du plan ou de l'espace associe le point M'.
Si k ≠ 0 , est appelée homothétie de rapport k et si , est l'application identique de .
Étymologie. Dérivé régressif de homothétique inventé par le mathématicien Michel Chasles.
est une homothétie ou une translation. Il faut bien distinguer cette propriété de la conservation du parallélisme : toute transformation affine transforme des droites parallèles en des droites parallèles ; mais seules les homothéties et les translations transforment toute droite en une droite parallèle à elle-même.
On construit respectivement les symétriques A', B' et C' de A, B et C par l'homothétie de centre O et de rapport -2. Pour construire A' par exemple : - On trace la droite (OA). - L'image A' de A se trouve de l'autre côté de A par rapport au point O. - OA' = 2 x OA.
L'homothétie est la transformation de l'espace (ici le plan) qui dilate les distances par rapport à une origine O. Le rapport k de l'homothétie est le facteur par lequel les distances sont multipliées. Ce rapport peut être négatif.
Si k = 1, alors f est l'écriture complexe de la translation de vecteur ayant pour affixe b. Si k = 1, alors f a un unique point fixe w = b/(1 − k) et c'est l'écriture complexe de l'homothétie de centre Ω, le point d'affixe w, et de rapport k.
Transformations : translation, rotation, homothétie.
Ayant choisi un point S qu'on nomme centre d'homothétie et un nombre k qu'on nomme rapport d'homothétie ou rapport de similitude, on appelle homothétique d'un point quelconque M le point M' obtenu en joignant SM et prenant à partir du point S, sur cette droite ou sur son prolongement un segment SM' tel que SM'/SM = k ( ...
Nombre positif ou négatif qui caractérise une homothétie. Le rapport d'homothétie est le rapport entre une mesure algébrique de la figure image et la mesure algébrique correspondante sur la figure initiale. Voici un exemple où k>1: Dans cette illustration, k=m(O, P′)m(O, P) = −m(O, P′′)m(O, P).
Lors d'une homothétie de rapport k, si k est positif alors les longueurs sont multipliées par k, les aires par k² et les volumes par k3. On parle alors d'un agrandissement ou d'une réduction. Une homothétie conserve les mesures d'angles.
On appelle image d'un point, la zone de convergence des rayons, après traversée du système optique (image réelle) ou la zone d'où les rayons semblent provenir (image virtuelle). Lorsque cette zone se réduit à un point, le système est dit stigmatique. En optique, on appelle objet tout ensemble de points lumineux.
Le rapport d'homothétie se calcule TOUJOURS en divisant la distance entre le centre d'homothétie et l'image d'un sommet par la distance entre le centre d'homothétie et le sommet. (OA'/OA ou OB'/OB ou OC'/OC…).
Définition 1 : On appelle transformation du plan (ou de l'espace) toute fonction bijective du plan (ou de l'espace), c'est-à-dire que tout point du plan (ou de l'espace) possède un et un seul antécédent par cette fonction. Remarque : Une projection sur une droite du plan n'est pas une transformation du plan.
une translation transforme une droite en une droite parallèle ; par une translation, une figure géométrique est transformée en une figure géométrique isométrique. En effet, il n'y a aucune déformation : les deux figures sont superposables. La figure ne pivote donc pas mais elle effectue un déplacement ->un glissement .
Le rapport de similitude (k) est un rapport entre des longueurs homologues (côtés, périmètres, rayons, circonférences, etc.) de 2 figures semblables.
Définition : Agrandir ou réduire une figure, c'est construire une figure de même forme en multipliant les longueurs de la figure initiale par un nombre k strictement positif. Exemple: Soit un carré de côté 3 cm. a) Agrandir ce carré dans le rapport 1,2. → Le carré agrandi aura pour côté 3 cm × 1,2 = 3,6 cm.
Il existe en réalité 2 homothéties qui transforment le carré A en le carré B. Une de rapport positif et une de rapport négatif . Ces 2 rapports ont la même valeur absolue 1/2.