Méthodologie de calcul de la norme Dans un espace tridimensionnel, par exemple, la norme d'un vecteur représenté par (x, y, z) est √(x² + y² + z²). Cette méthode s'étend aux espaces de dimensions supérieures, bien que la visualisation devienne plus complexe.
La norme d'un vecteur est sa « longueur ». Pour calculer la norme d'un vecteur en deux dimensions, nous utilisons le théorème de Pythagore. Étant donné le vecteur v → = ( v x v y ) , la norme de ce vecteur se calcule grâce à la formule ‖ v → ‖ = v x 2 + v y 2 .
Théorème - Définition : On peut toujours écrire un nombre complexe z sous la forme : z = |z|(cos(θ)+i sin(θ)), avec θ = arg(z). On appelle ceci la forme trigonométrique de z. cos(θ) = a |z| , sin(θ) = b |z| . Exemple : Calculer |z| et arg(z) pour z = 1+i.
La norme de 𝐴𝐵 est la racine carrée de quatre au carré plus 10 au carré. Quatre au carré est 16 et 10 au carré est 100, donc la norme de 𝐴𝐵 est la racine carrée de 116.
Le module d'un nombre complexe 𝑧 = 𝑎 + 𝑏 𝑖 est défini par | 𝑧 | = √ 𝑎 + 𝑏 . . Si 𝑧 est un nombre réel, son module est simplement sa valeur absolue. Pour cette raison, on appelle souvent le module, la valeur absolue d'un nombre complexe.
La valeur absolue (ou module) d'un nombre réel est la valeur non négative correspondante qui ignore le signe. Pour une valeur réelle a , la valeur absolue est : a , si a est supérieur ou égal à zéro. -a , si a est inférieur à zéro.
Pour calculer les coordonnées de la somme de deux vecteurs, on additionne les coordonnées de chacun des vecteurs. Pour calculer les coordonnées de la différence de deux vecteurs, on soustrait les coordonnées de chacun des vecteurs.
Deux vecteurs sont égaux si ils ont la même direction, le même sens et la même norme.
2- Coordonnées du vecteur défini par deux points
Dans le plan muni du repère (O,I,J) on considère les points A(xA, yA) et B(xB, yB). Les coodonnées du vecteur AB sont (xB – xA, yB – yA).
Soient deux nombres complexes z et z′ de formes algébriques x+iy x + i y et x′+iy′ x ′ + i y ′ . Pour calculer la somme de ces nombres complexes, il suffit d'additionner les deux parties réelles ensembles et les deux parties imaginaires ensemble. soient z=2−5i z = 2 − 5 i et z′=−4+9i z ′ = − 4 + 9 i .
Pour normaliser une observation dans une population, soustrayez la moyenne de population de l'observation qui vous intéresse, puis divisez le résultat par l'écart type de la population. Ces calculs génèrent la valeur de Z associée à l'observation qui vous intéresse.
Si vous connaissez la moyenne et l'écart type, vous pouvez trouver le score Z à l'aide de la formule Z = (x - μ) / σ où x est votre point de données, μ est la moyenne et σ est l'écart type.
La norme d'un vecteur est sa longueur et peut être calculée en adaptant le théorème de Pythagore en trois dimensions. Si ⃑ 𝐴 = ( 𝑥 , 𝑦 , 𝑧 ) , alors ‖ ‖ ⃑ 𝐴 ‖ ‖ = √ 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 .
Pour indiquer les coordonnées du vecteur , on utilise la notation ou . On considère deux points A(xA ; yA) et B(xB ; yB). Le vecteur a pour coordonnées (xB – xA ; yB – yA ).
Quand une force A et une force B agissent sur un objet dans le même sens (vecteurs colinéaires), la force résultante (C) est égale à A + B, dans la direction de A et B.
Deux vecteurs non nuls sont égaux si et seulement si ils ont la même direction, le même sens et la même norme.
Le déterminant de u et v est le réel det(u ;v )=xy′−yx′. Propriété : Deux vecteurs sont colinéaires si, et seulement si, leur déterminant est nul. Le déterminant de u (−3 ;9) et v (1 ;−3) est det(u ;v )=(−3)×(−3)−9×1=0.
Cas : si et sont deux vecteurs tels qu'il existe un scalaire vérifiant u = λ v ( et sont alors linéairement dépendants), on dit que est proportionnel à . A noter que si de plus et sont non nuls, est aussi proportionnel à (car sera nécessairement non nul et donc v = λ − 1 u ).
La norme euclidienne associée `a un produit scalaire vérifie x = 0 ⇔ x = 0 et λx = |λ|x pour tout réel λ. Voici d'autres pro- priétés. |(x | y)|≤x y . L'égalité a lieu si et seulement si x et y sont colinéaires.
Deux vecteurs sont opposés lorsque leur somme est égale au vecteur nul, ils ont alors même longueur et même direction mais des sens différents.
Si ⃗ AB et ⃗ CD sont deux vecteurs colinéaires non nuls, alors : 1er cas, vecteurs de même sens : ⃗ ⋅ C D ⃗ = A B × C D \vec {AB}\cdot \vec {CD}=AB\times CD AB ⋅CD =AB×CD.
Par exemple, considérons le vecteur →u=→AB où A=(3,1,−2) et B=(−2,7,−4). Les composantes du vecteur →u se calculent par la différence entre les coordonnées du point B et celles du point A : →u=(−2−3,7−1,−4+2)=(−5,6,−2).
Tout nombre θ qui convient s'appelle un argument de z , noté arg(z) . Exemple : Déterminons un argument de 1+i : 1+i=√2(1√2+1√2i)=√2(cos(π4)+isin(π4)). 1 + i = 2 ( 1 2 + 1 2 i ) = 2 ( cos ( π 4 ) + i sin Pour θ un réel, on définit l'exponentielle complexe par : eiθ=cos(θ)+isin(θ).