Si dans une matrice on ajoute à une ligne un multiple d'une autre ligne, le déterminant ne change pas. Si A est une matrice carrée d'ordre n, on a det(A)=det(At). Si A et B sont des matrices carrées d'ordre n, on a det(A⋅B)=det(A)⋅det(B).
Le déterminant se calcule en multipliant les deux termes de la diagonales : a x d, puis les deux autres : b x c. On soustrait alors, ce qui donne det(A) = a x d – b x c.
Pour calculer le déterminant d'une matrice 3 × 3 , nous pouvons utiliser la méthode de développement par les cofacteurs en choisissant une ligne ou une colonne spécifique de la matrice, en calculant les mineurs pour chaque élément de celle-ci et en alternant les signes en fonction des cofacteurs.
Le déterminant d'une matrice diagonale ou triangulaire (supérieure ou inférieure) est égal au produit des termes de la diagonale principale. Comme pour les déterminants d'ordre 2, la valeur du déterminant est égale au produit des termes de la diagonale principale.
Pour A, matrice carrée d'ordre 2 ou 3, An+1 = A An = An A et A1 = A. Pour une matrice diagonale, il suffit d'élever à la puissance n les coefficients de la diagonale. Pour Tn, T matrice triangulaire supérieure stricte d'ordre 3, les coefficients deviennent nuls lorsque n > 3.
La matrice identité d'ordre n est la matrice dont tous les coefficients sont nuls sauf ceux situés sur la diagonale principale qui sont eux, égaux à 1 ; on la note In. Pour toute matrice carrée d'ordre n notée A, on dispose des égalités A In = In A = A.
On résout ( S ) par la méthode du pivot de Gauss. On a donc pour toutes matrices X et Y de M 3 , 1 ( R ) l'équivalence A X = Y ⇔ X = A ′ Y . On a donc pour toute matrice Y de M 3 , 1 ( R ) , Y = A A ′ Y on en déduit A A ′ = I 3 . De même pour toute matrice X de M 3 , 1 ( R ) , X = A ′ A X et donc A ′ A = I 3 .
Le déterminant d'une matrice triangulaire est égal au produit des coefficients diagonaux. Si A est triangulaire par blocs, ie si A s'écrit A=(BD0C), A = ( B D 0 C ) , alors det(A)=det(B)det(C) det ( A ) = det ( B ) det ( C ) .
Le déterminant sera un outil essentiel pour identifier les points maximum et minimum ou les points de selle d'une fonction de plusieurs variables. Une matrice est dite de dimension lorsque celle-ci possède rangées et colonnes.
Le déterminant d'un système de n vecteurs est nul si et seulement si ce système est lié (et ce, quelle que soit la base de référence). Le déterminant d'une matrice (ou d'un endomorphisme) est nul si et seulement si cette matrice (ou endomorphisme) est non inversible.
Trois cofacteurs, un pour chaque coefficient d'une seule ligne (ou colonne), que vous additionnez et vous aurez le déterminant de la matrice 3 x 3. Pour notre exemple, cela donne : (-34) + (120) + (-12) = 74.
Soit A une matrice carrée d'ordre n. On dit que A est une matrice inversible s'il existe une matrice B carrée d'ordre n vérifiant la double égalité : A B = B A = In avec In, la matrice identité d'ordre n. B est une matrice inverse si B = A-1.
La règle de Sarrus (nommée d'après Pierre-Frédéric Sarrus) est un procédé visuel, qui permet de retenir la formule de calcul des déterminants d'ordre 3. La règle de Sarrus consiste à écrire les trois colonnes de la matrice et à répéter, dans l'ordre, les deux premières lignes en dessous de la matrice.
En dimension 2, le déterminant est l'aire algébrique du parallélogramme construit sur −→ u et −→ v . Cette aire est positive si (−→ u , −→ v ) est direct, négative si c'est indirect.
On peut déterminer l'inverse d'une matrice carrée M en la multipliant par une matrice carrée de même ordre à coefficients inconnus et résolvant un système d'équations obtenu. Soit la matrice M = \begin{pmatrix} 1 & 3 \cr\cr 1 & 2 \end{pmatrix}.
Étape 1 : Calcul du discriminant Δ = b² - 4ac. Si Δ < 0 : Pas de solution à l'équation ; Si Δ = 0 : Une seule solution S = -b/2a ; Si Δ > 0 : Deux solutions à l'équation S = {(-b-racine(Δ))/2a, (-b+racine(Δ))/2a}.
Une matrice carrée à coefficients dans K ( K = R ou K = C ) est diagonalisable si et seulement si son polynôme caractéristique est scindé sur K et, pour chaque valeur propre, la dimension du sous-espace propre associé est égale à son ordre de multiplicité en tant que racine du polynôme caractéristique.
Définition : Carré d'une matrice
𝑎 = 𝑎 × 𝑎 ), le carré est obtenu en multipliant la matrice par elle-même.
On calcule le discriminant Δ = b2 – 4ac de la fonction polynôme f définie par f(x) = ax2 + bx + c. Étudier le signe du discriminant Δ. Si Δ < 0, alors cette équation n'admet pas de solutions réelles. Si Δ = 0, alors cette équation admet une solution unique .
On peut calculer directement le déterminant de A α en le développant suivant la troisième ligne ou la troisième colonne. Dans ce cas la matrice est inversible et son rang est égal à 3. Lorsque α ∈ { 0 , π } le rang de A α est strictement inférieur à 3.
( Polynôme caractéristique d'une matrice ) Si f : E → E est un endomorphisme, le polynôme caractéristique χf de f est le polynôme caractéristique d'une matrice Mat(f; B) pour une base B de E. Autrement dit, χf = det(f − Xid).
Déterminant de deux vecteurs
Soient u et v , deux vecteurs de coordonnées respectives (xy) et (x′y′). Le déterminant de u et v est le réel det(u ;v )=xy′−yx′. Propriété : Deux vecteurs sont colinéaires si, et seulement si, leur déterminant est nul.
Rappelons que le déterminant d'une matrice 2 × 2 est donné par d e t 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 = 𝑎 × 𝑑 − 𝑏 × 𝑐 . Cela conduit à d e t 𝐴 = ( − 4 ) × 5 − ( − 1 0 ) × 3 = 1 0 . Par conséquent, le déterminant de la matrice donnée est 10. Comme le déterminant est non nul, nous savons que l'inverse d'une matrice existe.
caractérisation d'une matrice inversible
Elle est inversible si et seulement son déterminant est non nul. De plus si est inversible, det ( M − 1 ) = [ det ( M ) ] − 1 .
Définition 1 : le rang d'une matrice est la dimension du sous-espace vectoriel engendré par les vecteurs colonnes (ou lignes) de ladite matrice. Autrement dit, c'est le nombre maximal de vecteurs colonnes (ou lignes) linéairement indépendants.