Le noyau de f , noté par Ker(f ), est l'ensemble des antécédents du vecteur 0 : Ker(f ) = {x | f (x) = 0} = {x | Ax = 0} = l'ensemble solutions du système Ax = 0 .
Définition Si f : E → F est une application linéaire, son noyau, noté Kerf est l'ensemble des vecteurs de E que f annule : Kerf := {v ∈ E|f (v)=0}. Le noyau de la projection p := (x,y,z) ↦→ (x,y,0) de R3 sur son plan horizontal est l'axe vertical défini par x = y = 0.
∀ x ∈ ker(f), f(x)=0. L'ensemble des x forme un sous espace vectoriel de l'ensemble de départ. Im(f) est l'ensemble des y ∈ l'ensemble d'arrivée qui ont un antécédent par f, Im(f) fome aussi un sous espace vectoriel.
Ker est un appellatif toponymique breton utilisé le plus souvent comme premier élément d'un toponyme. Il désigne un lieu habité, un domaine, un hameau. Il est également courant dans les patronymes bretons.
Le noyau d'un morphisme f est noté ker(f) ou Ker(f). Cette abréviation vient du mot allemand Kern qui signifie « noyau » (dans tous les sens du terme : l'analogie s'est propagée d'une langue à l'autre).
Par exemple, le rang d'une application de R2 dans R ne pouvant pas être supérieur à 1, la dimension du noyau est au moins égale à 1. Soit f une application linéaire de R3 dans R2 : f(x,y,z) f ( x , y , z ) =(x+2y,2x+3z).
Le noyau de f est donc l'ensemble des fonctions polynômes P = b ( e 2 + e 1 − e 0 ) , c'est-à-dire telles que, pour tout réel x , P ( x ) = b ( x 2 + x − 1 ) , b appartenant à R .
X ↦− → AX . Calculer f (X1) et f (X2) où X1 = ( −1 2 ) , X2 = ( 3 2 ) , puis f (3X1 − 2X2). est bijective et on peut montrer qu'elle est linéaire a. On pourra donc identifier a les matrices colonnes de Mn,1(R) avec les n−uplets de réels, c'est à dire les éléments de Rn.
Réciproquement, supposons que Kerf = {0}. Soit u, v ∈ E tels que f(u) = f(v), autrement dit f(u) − f(v) = 0. Comme f est linéaire, on a f(u) − f(v) = f(u − v) = 0, donc u − v ∈ Kerf. On en déduit que u − v = 0, c'est-`a-dire u = v.
Pour démontrer que Imf et kerf sont des sous-espaces supplémentaires, il suffit de montrer que leur intersection est réduite au vecteur nul.
Connaissant la dimension du noyau de \(f\), en appliquant le théorème du rang on peut connaître la dimension de l'image de \(f\). Ce théorème permet en effet d'écrire : \(\dim E=\dim\textrm{Ker}f+\dim\textrm{Im}f\). On a donc \(\dim\textrm{Im}f=\dim E-\dim\textrm{Ker}f=4-2=2\).
On pose Ker f = {x ∈ E ; f(x)=0} o`u0=0F . Ker f est un sous-espace vectoriel de E appelé noyau de f. Démonstration : Ker f est non vide car f(0E)=0F . Soient x1 et x2 deux éléments de Ker f et λ ∈ K.
Pour diagonaliser une matrice, une méthode de diagonalisation consiste à calculer ses vecteurs propres et ses valeurs propres. La matrice diagonale D est composée des valeurs propres. La matrice inversible P est composée des vecteurs propres dans le même ordre de colonnes que les valeurs propres associées.
On appelle image d'une application f (d'un ensemble A vers un ensemble B) l'image directe par f de l'ensemble de départ A. C'est donc le sous-ensemble de B contenant les images de tous les éléments de A, et uniquement ces images. On le note Im(f).
la dimension de l'image est égale au rang de la matrice associée : dim Img f = rang A = 2. les vecteurs (2 ; 1 ; 0) et (-1 ; 0 ; 1) forment une base de Im f.
En mathématiques, une base d'un espace vectoriel V est une famille de vecteurs de V linéairement indépendants et dont tout vecteur de V est combinaison linéaire. En d'autres termes, une base de V est une famille libre de vecteurs de V qui engendre V.
Bonne définition La dimension du sous-espace vectoriel des solutions d'un syst`eme d'équations homog`enes est donnée par la formule : Dimension (du sev des solutions) = nombre d'inconnues -rang du syst`eme d'équations.
Définition Si f : E → F est une application linéaire, son image, notée Imf est l'ensemble des vecteurs de F de la forme f (v) avec v ∈ E : Imf := {f (v)|v ∈ E}. L'image de la projection p := (x,y,z) ↦→ (x,y) de R3 sur son plan horizontal est justemment ce plan horizontal, d'équation z = 0.
Le diamètre d'un atome est voisin de 10 exposant -8 cm ou encore 10 exposant -10 m. Celui d'un noyau est voisin de 10 exposant -15 m.
On dit que u est linéaire ou que c'est un morphisme si et seulement si : ∀x, y ∈ E, ∀λ, µ ∈ R, u(λx + µy) = λu(x) + µu(y). Lorsque E = F, un morphisme de E dans lui même s'appelle un endomorphisme.
Une fois déterminées les valeurs propres d'un endomorphisme, s'il y en a, on peut rechercher les vecteurs propres associés. Cela revient à résoudre l'équation linéaire f ( v ) = λ v , c'est-à-dire à déterminer Ker ( f − λ I d E ) .
L'algèbre linéaire est initiée dans son principe par le mathématicien perse Al-Khwârizmî qui s'est inspiré des textes de mathématiques indiens et qui a complété les travaux de l'école grecque, laquelle continuera de se développer des siècles durant.
Une matrice réelle dont toutes les colonnes sont orthogonales deux à deux est inversible si et seulement si elle n'a aucune colonne nulle. Un produit de deux matrices carrées est inversible si et seulement si les deux matrices en facteur le sont aussi.