Pour calculer la raison d'une suite arithmétique, nous pouvons utiliser la définition par récurrence d'une suite arithmétique, u n + 1 = u n + r . Nous pouvons également exploiter le terme général d'une suite arithmétique, u n = u 0 + n r .
On peut donc écrire t=2×n+rang 0. t = 2 × n + rang 0. On trouve le nombre à additionner ou soustraire en remplaçant le terme et le rang par un couple dans la table des valeurs. On peut déterminer la valeur du terme qui serait situé au rang 0.
En règle générale, on utilise la première version si 𝑅 < 1 et la seconde si 𝑅 > 1 . Si 𝑅 = 1 , tous les termes de la suite géométrique sont identiques, donc il suffit de multiplier le premier terme par le nombre de termes pour trouver la somme : 𝑆 = 𝑇 × 𝑁 .
Un = Up + (n-p)×r (où Up est le terme initial). Cas particulier si U0 est le terme initial, alors Un=U0+nr.
Une relation de récurrence est une équation qui exprime chaque élément de la suite comme une fonction des éléments précédents.
Si une suite s'exprime sous la forme explicite u n = A × B n , alors cette suite est géométrique de raison .
Pour calculer u1, on fait n = 0 dans (*) : u1 = 2u0 − 1 = 2 χ 3 − 1 = 5. Pour calculer u2, on fait n = 1 dans (*) : u2 = 2u1 − 1 = 2 χ 5 − 1 = 9. De même : u3 = 2u2 − 1 = 17. On remarque que, pour calculer un terme de la suite, on doit calculer tous les termes d'indice inférieur.
Exemple : Considérons une suite numérique (un) où la différence entre un terme et son précédent reste constante et égale à 5. Si le premier terme est égal à 3, les premiers termes successifs sont : u0 = 3, u1 = 8, u2 = 13, u3 = 18. Une telle suite est appelée une suite arithmétique de raison 5 et de premier terme 3.
La raison d'une suite arithmétique, dont le premier terme u1 est égal à a , est donnée par la formule : r=un−an−1 r = u n - a n - 1 . Ce résultat signifie que, pour déterminer la raison, il faut retrancher au dernier terme le premier, puis diviser le résultat obtenu par le nombre de termes diminué de 1.
On peut trouver la raison en soustrayant un terme de la suite arithmétique au terme suivant. Par exemple, prendre la différence des deux premiers termes nous donne − 3 − 2 = − 5 . Par conséquent, la raison de cette suite arithmétique est − 5 . Comme la raison est négative, cette suite est donc décroissante.
Une suite numérique est une suite géométrique de raison s'il existe un nombre réel tel que u n + 1 = q u n . Le terme général d'une suite géométrique de raison est u n = u 0 q n . Pour montrer qu'une suite est géométrique, il faut démontrer que le quotient u n + 1 u n est constant pour tout nombre entier .
Exemple : Considérons une suite numérique (un) où le rapport entre un terme et son précédent reste constant et égale à 2. Si le premier terme est égal à 5, les premiers termes successifs sont : u0 = 5, u1 = 10, u2 = 20, u3 = 40. Une telle suite est appelée une suite géométrique de raison 2 et de premier terme 5.
La somme des 𝑛 premiers termes d'une suite arithmétique peut être calculée en utilisant la formule 𝑆 = 𝑛 2 ( 2 𝑇 + ( 𝑛 − 1 ) 𝑟 ) , où 𝑇 est le premier terme et 𝑟 est la raison.
Tout d'abord, nous avons la somme de tous les termes qui est 506, ceci est égal à 𝑛, le nombre de termes, divisé par deux, c'est ce 𝑛 que nous voulons trouver. Ensuite, nous avons 11, qui est notre premier terme 𝑎, plus 81, qui est notre dernier terme 𝐿.
Le terme général d'une suite, parfois appelé terme de rang 𝑛 et noté 𝑇 , est une expression algébrique qui relie le terme à son rang dans la suite. On considère le terme général 𝑇 = 3 𝑛 + 4 . Par conséquent, les trois premiers termes sont 7, 10 et 13.
Pour déterminer la raison d'une suite géométrique donnée, on divise n'importe quel terme de la suite par le terme précédent. Par exemple, on peut diviser le troisième terme par le deuxième terme ou le deuxième terme par le premier terme ; dans les deux cas, on trouve le même nombre si la suite est géométrique.
En mathématiques, la raison est la valeur qui permet de passer d'un terme au suivant dans certaines suites définies par récurrence.
a) la suite (un) est croissante si pour tout n ∈ : un ⩽ un+1 ; b) la suite (un) est décroissante si pour tout n ∈ : un ⩾ un+1 ; c) la suite (un) est monotone si elle est croissante ou décroissante ; d) la suite (un) est constante si pour tout n ∈ : un+1 = un.
Pour montrer qu'une suite (Un) n'est pas arithmétique, il suffit de calculer les 3 premiers termes U0, U1 et U2 (ou parfois les 4 ou 5 premiers, si les 3 premiers ne suffisent pas) et de constater que U_2 - U_1 \ne U_1 - U_0.
D'après la loi d'additivité des tensions : U 1 = U − U 2 = 5 − 3 = 2 V.
la relation de récurrence : { x1 = 1, xn = 2xn-1 + 1, si n > 1 ce qui donne bien xn = 2n - 1. En effet, cette formule est vraie pour n = 1 et on suppose que xn-1 = 2n-1 - 1, alors xn = 2xn-1 + 1 = 2(2n-1 - 1)+1=2 × 2n-1 - 2+1=2n - 1.
Une suite est dite récurrente quand le terme un+1 est donné sous la forme un+1 = f(un), dans ce cas on peut calculer tous les terme sde la suite `a partir du moment o`u on connait u0; par exemple si on suppose que u0 = 0 et que un+1 = un + 1 (dans ce cas f(x) = x + 1) alors un = n pour tout n.
- Si la suite est décroissante nous avons ua ≥ ua+1 ≥ ua+2 ≥ ... ≥ un et elle est, de fait, majorée par son premier terme ua . - Si une suite est croissante ou si elle est décroissante, elle est dite monotone.
Autrement dit, une suite est géométrique si et seulement si chaque terme s'obtient en multipliant le précédent par un nombre réel q, toujours le même.
Une suite est convergente si elle tend vers un nombre fini ; une suite est divergente si elle tend vers l'infini ou si elle n'a pas de limite.