Une des méthodes les plus couramment utilisées pour déterminer le sens de variation d'une fonction est l'étude du signe de sa dérivée. ➕/➖ La dérivée d'une fonction représente son taux de variation instantanée, et son signe nous renseigne sur la croissance ou la décroissance de la fonction.
Pour connaître le signe de f', il suffit simplement de déterminer les valeurs de x pour lesquelles f'(x) s'annule, or on sait construire le tableau de signe d'une fonction de type ax + b. f '(x) = 3x2 +6x -9 = 3(x+3)(x-1), x+3 = 0 --> x=-3 et x-1=0 --> x=1.
Méthode : Pour étudier les variations d'une fonction polynome du 3° degré, il suffit de déterminer l'expression de sa fonction dérivée ( qui sera du 2° degré ), puis d'étudier son signe et de conclure avec le théorème.
Pour une fonction 𝑓 ( 𝑥 ) , le taux de variation moyen entre un point fixe 𝑥 et un autre point 𝑥 + ℎ est 𝑇 ( ℎ ) = 𝑓 ( 𝑥 + ℎ ) − 𝑓 ( 𝑥 ) ℎ .
En cas de baisse, il est préférable d'utiliser un taux de variation. En cas de hausse importante, le coefficient multiplicateur est plus adapté. Quand il y a une augmentation de plus faible ampleur, il est plus pertinent d'utiliser le taux de variation.
Qu'est-ce qu'un taux de variation ? Le taux de variation mesure l'évolution d'une variable entre deux dates par rapport à sa valeur de départ. Cette variation relative est le plus souvent exprimée en pourcentage (%).
Le sens de variation d'une fonction affine dépend du signe du coefficient directeur a a a. Ce coefficient directeur représente la « pente » de la droite représentative de f f f. Si a > 0 a > 0 a>0 la fonction est croissante, la droite « monte ». Si a = 0 a=0 a=0 la fonction est constante, la droite est horizontale.
Une fonction à 2 variables est un objet qui à tout couple de nombres réels (x, y) associe au plus un nombre réel. Si f est une telle fonction, on note f : R × R → R. Si f associe un nombre à (x, y), on note f(x, y) ce nombre. On dit qu'on peut évaluer f en (x, y) et f(x, y) est la valeur de f en (x, y).
Cette dernière écriture s'appelle la forme canonique de f. avec α = − b 2a et β = − b2 − 4ac 4a .
Pour cela, il faut calculer la variation absolue, c'est-à-dire faire la différence entre la valeur d'arrivée et la valeur de départ, que l'on divise par la valeur de départ, le tout multiplié par 100.
Théorème : Soit I un intervalle de R et f:I→R f : I → R dérivable. Alors : f est croissante sur I si et seulement si, pour tout x∈I x ∈ I , f′(x)≥0 f ′ ( x ) ≥ 0 ; f est strictement croissante sur I si et seulement si f′≥0 f ′ ≥ 0 et si f′ n'est identiquement nulle sur aucun intervalle [a,b]⊂I [ a , b ] ⊂ I avec a<b .
Une fonction affine est croissante si et seulement si son taux de variation est positif. Une fonction affine est décroissante si et seulement si son taux de variation est négatif. Une fonction affine est constante si et seulement si son taux de variation est nul.
MÉTHODE 1. –
Pour déterminer le sens de variation d'une suite (un), on peut utiliser l'une des règles suivantes : a) On étudie le signe de la différence un+1 − un. ▶ Si un+1 − un est positive, alors la suite (un) est croissante. ▶ Si un+1 − un est négative, alors la suite (un) est décroissante.
Si n=p=1 n = p = 1 , une application linéaire de R dans R est simplement une homothétie et il existe donc un réel c tel que L(h)=ch L ( h ) = c h . Ainsi f est différentiable en a si et seulement s'il existe un réel c tel que f(a+h)=f(a)+c⋅h+o(h). f ( a + h ) = f ( a ) + c ⋅ h + o ( h ) .
Si f est différentiable en tout point de U on dit que f est différentiable sur U, et on définit sa différentielle df par df : x ↦→ df(x). Exemple : Une fonction de la variable réelle est différentiable si et seulement si elle est dérivable. Sa différentielle est alors l'application h ↦→ df(a)(h) = hf (a). dfi(a)(h)vi.
Pour une fonction de deux variables, il y a deux dérivées, une ”par rapport `a x” et l'autre ”par rapport `a y”. Les formules sont (`a gauche la premi`ere, `a droite la seconde) : (a,b) ↦→ (x ↦→ f (x,b)) (a) (a,b) ↦→ (x ↦→ f (a,x)) (b).
Sens de variation
Propriété : La fonction inverse est décroissante sur ] –∞ ; 0 [ et sur ] 0 ; +∞ [. Démonstration : sur ] 0 ; +∞ [
Le sens de variation d'une fonction polynôme d'expression f\left(x\right) =ax^2+bx+c dépend du signe de a : Si a \gt 0 alors f est strictement décroissante sur \left]-\infty ; \alpha \right] et strictement croissante sur \left[\alpha ;+\infty \right[.
Un maximum d'une fonction se trouve où la dérivée est nulle et la dérivée seconde est strictement négative. Un minimum d'une fonction se trouve où la dérivée est nulle et la dérivée seconde est strictement positive.
Le résultat est exprimé en pourcentage (avec des chiffres absolus, on parlerait seulement d'une différence), et est appelé taux de variation, ou encore variation en pourcentage. Elle est calculée comme suit: [(nombre au moment ultérieur ÷ nombre au moment antérieur) — 1] × 100.
Pour calculer le taux d'évolution d'une quantité, il faut utiliser la formule (valeur finale - valeur initiale)/valeur initiale. Par exemple, si le chiffre d'affaires a diminué de 4 millions d'euros à 1,25 million d'euros, alors le taux d'évolution est (1,25 - 4)/4 = -2,75/4 = -0,6875.
Pour obtenir la réciproque d'une fonction de variation inverse, il suffit d'interchanger les variables dépendante et indépendante. La règle suivante représente le nombre de croissants (n) que l'on peut acheter avec 6 $ en fonction du prix en $ d'un croissant (p).
Exemple : La population d'un village est passée de 8500 à 10400 entre 2008 et 2012. Il s'agit ici d'une augmentation de 10400 – 8500 = 1900 habitants (variation absolue). Le taux d'évolution de la population est donc : t = 1900 8500 ≈ 0,224 = 22,4%.