Réponse. Le quadrilatère 𝐴 𝐶 𝐷 𝐵 a ses côtés opposés définis par des vecteurs égaux. Étant donné que des vecteurs égaux ont la même norme, la même direction et le même sens, nous pouvons conclure que 𝐴 𝐶 𝐷 𝐵 est un parallélogramme.
Dans un quadrilatère ABCD, si les vecteurs AB et DC sont égaux, alors ABCD est un parallélogramme.
Si les côtés opposés d'un quadrilatère sont de même longueurs alors c'est un parallélogramme. Si les diagonales d'un quadrilatère ont le même milieu alors ce quadrilatère est un parallélogramme. Si deux cotés opposés d'un quadrilatère sont parallèles et de même longueur alors ce quadrilatère est un parallélogramme.
Deux vecteurs A B → et C D → sont égaux si et seulement si le quadrilatère ABDC est un parallélogramme, éventuellement aplati.
Si les vecteurs sont égaux, cela signifie qu'ils ont le même sens. Ainsi, les vecteurs sont colinéaires. Ils ont également la même norme, ce qui signifie que les vecteurs auront la même longueur. Il convient de noter que nous savons que le côté 𝐵𝐶 est quatre fois la longueur du côté 𝐴𝐵.
Propriétés du parallélogramme
Les diagonales se coupent en leur milieu. Le centre du parallélogramme est le centre de symétrie. Les côtés opposés sont parallèles. Les côtés opposés sont de même longueur.
D'après la définition précédente, si un quadrilatère a quatre côtés de même longueur, alors c'est un losange. Exemple : sur la figure 2, AB = BC = CD = DA = 3 cm ; donc ABCD est un losange.
Quelle est la nature du quadrilatère ABCD ? On peut dire que ABCD est un parallélogramme car ses diagonales [AC] et [BD] ont le même milieu I. De plus, ABCD est un rectangle car il a un angle droit en B.
Égalité de vecteurs
Graphiquement, deux vecteurs sont égaux s'ils ont le même sens, la même direction et la même norme.
Déterminant de deux vecteurs
Le déterminant de u et v est le réel det(u ;v )=xy′−yx′. Propriété : Deux vecteurs sont colinéaires si, et seulement si, leur déterminant est nul.
Propriétés : Si un quadrilatère est un parallélogramme, alors il a toutes les propriétés suivantes : - les côtés opposés sont parallèles ; - les côtés opposés sont de même longueur ; - les diagonales se coupent en leur milieu ; - les angles opposés sont de même mesure.
On n'obtient pas toujours un parallélogramme. Pour obtenir un parallélogramme, il faut que le quadrilatère soit en outre convexe et que les côtés opposés soient égaux. Si le quadrilatère n'est pas convexe et les côtés opposés sont égaux deux à deux, on obtient un quadrilatère croisé : l'antiparallélogramme.
Or, un quadrilatère dont les diagonales se coupent en leur milieu est un parallélogramme. On sait que les côtés sont parallèles deux à deux. Or un quadrilatère dont les côtés sont parallèles deux à deux est un parallélogramme.
les diagonales ont le même milieu ; les côtés opposés sont parallèles ; les côtés opposés ont la même longueur ; deux côtés opposés sont parallèles et ont la même longueur.
On en déduit que les diagonales [AC] et [BD] se coupent en leur milieu et sont de même longueur. Par conséquent, le quadrilatère ABCD est un parallélogramme dont les diagonales sont de même longueur. C'est donc un rectangle. Comme ses diagonales sont perpendiculaires, c'est également un losange.
Lorsque deux points A et B sont confondus, on dit que le vecteur A B → \overrightarrow{AB} AB est un vecteur nul et on note 0 ce vecteur. Le vecteur nul a une longueur égale à 0, mais n'a ni direction, ni sens.
possède trois éléments caractéristiques : sa direction (droite (AB)) ; son sens (il y a deux sens possibles de parcours de la droite (AB) : de A vers B ou de B vers A) ; sa norme (ou sa longueur, la longueur du segment [AB]).
Pour calculer la norme d'un vecteur, il faut utiliser la formule ‖ v → ‖ = v x 2 + v y 2 .
Définition : Un parallélogramme est un quadrilatère éventuellement aplati qui possède un centre de symétrie.
On détermine donc si le quadrilatère est un trapèze. Si ce n'est pas le cas, on conclut que la figure est un quadrilatère quelconque. Un quadrilatère non croisé est un trapèze si et seulement si deux de ses côtés sont parallèles.
Les mesures des quatre angles à l'intérieur de tout quadrilatère ont une somme de 360 degrés. Cela signifie que l'angle 𝐴 plus l'angle 𝐵 plus l'angle 𝐶 plus l'angle 𝐷 est égal à 360 degrés.
Un trapèze (non croisé) dont les bases ont la même longueur est un parallélogramme, c'est-à-dire que ses deux autres côtés sont aussi parallèles.
- Si un quadrilatère a ses angles opposés deux à deux de même mesure alors c'est un parallélogramme. - Si un quadrilatère a trois angles droits (au moins) alors c'est un rectangle. - Si un quadrilatère a des diagonales de même longueur et qui se coupent en leur milieu alors c'est un rectangle.
D'après le théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle si : BC² = AB² + AC². Ainsi, d'après le théorème de Pythagore, BC² = AB² + AC². Alors, le triangle ABC est rectangle en A. Son hypoténuse est [BC].