On écrit que x appartient à l'intervalle si a ≤ x ≤ b. Graphiquement, un intervalle fermé est illustré par un segment dont les deux extrémités sont remplies. Pour écrire cet intervalle en notation d'intervalle, on doit utiliser des crochets : [a,b].
On peut représenter sur une droite l'ensemble de tous les nombres x tels que : −1 ⩽ x ⩽ 4. Autrement dit, x vérifie à la fois les deux inégalités x ⩾ −1 et x ⩽ 4. Cet ensemble est appelé intervalle : il est noté [−1 ; 4].
Un intervalle ouvert de E de bornes a et b est un sous-ensemble de E noté ]a, b[ formé de tous les éléments de E strictement compris entre a et b. Formellement, on écrira: ]a, a[ = {x ∈ E | a < x < b}.
Par exemple, ℝ* est l'ensemble des nombres réels privé de 0. Tous les nombres de l'ensemble des entiers naturels ℕ appartiennent à l'ensemble des entiers relatifs ℤ.
Ainsi on note un ensemble en plaçant entre accolades la nature, ou une propriété caractéristique, des objets qui lui appartiennent. Par exemple la notation {chiens} désigne l'ensemble de tous les chiens ; pour prendre un exemple plus mathématique, on pourrait écrire parfois {pairs} pour l'ensemble des nombres pairs.
L'ensemble {x | x ∈ A et x ∈ B} est appelé l'intersection des ensembles A et B et est noté A ∩ B. Si A ∩ B = ∅, on dit que A et B sont disjoints. (A ne pas confondre avec distinct qui est la négation de égal) L'ensemble {x | x ∈ A ou x ∈ B} est appelé l'union des ensembles A et B et est noté A∪B.
La manière la plus simple de décrire un ensemble « fini » est de lister ses éléments entre accolades. L'ensemble est alors défini en extension. Par exemple {1,2} représente l'ensemble dont les éléments sont 1 et 2. L' ordre des éléments ne revêt aucune importance ; par exemple, {1, 2} = {2, 1}.
L'ensemble ℚ a été défini par Peano, il vient de l'italien quotiente (la fraction). Il définit l'ensemble des nombres rationnels (exemples : -3 -2,5 0 1,25 1/3 2,666). Le nombre peut être décimal limité (3/4 = 0,75) ou périodique (2/3 = 0,666...).
Les intervalles réels sont des sous-ensembles (ou des parties) de l'ensemble des réels . Leur grande particularité est qu'ils sont "continus". C'est-à-dire que le chemin entre deux éléments d'un intervalle reste dans cet intervalle.
L'ensemble N est stable pour l'addition et la multiplication : cela signifie que si j'additionne ou multiplie deux entiers naturels quelconques, le résultat sera encore un entier naturel.
Un intervalle est la distance qui sépare un son d'un autre son. Vous avez certainement déjà entendu parler d'octave ou encore de tierce… Ce sont des intervalles très utilisés en musique. Pour évaluer un intervalle, il faut déterminer le nombre de tons et de demi-tons qui se trouve entre les notes.
Si la question du sondage portait sur un montant d'achat, un intervalle de confiance compris entre 100 et 120 euros signifie qu'il y a 95% de probabilités que le montant d'achat moyen de l'échantillon de population étudié soit compris entre 100 et 120 euros.
On note R∗ l'ensemble des nombres réels dont on a enlevé le nombre 0 . On note R+ l'ensemble des nombres réels positifs. On note R− l'ensemble des nombres réels négatifs.
Identifier un intervalle
Pour trouver l'intervalle entre deux notes, il suffit de compter le nombre de notes les séparant en incluant les deux notes composant l'intervalle. Par exemple, pour aller de do à sol, on trouve les 5 notes suivantes : do ré mi fa sol. L'intervalle séparant do et sol se nomme une quinte.
Cet ensemble est muni de façon canonique d'une structure de plan (c'est-à-dire d'espace bidimensionnel) vectoriel ou affine. On désigne encore ce plan par ℝ2. Dans tout autre plan (plan affine muni d'un repère affine ou plan vectoriel muni d'une base), ℝ2 est l'ensemble des coordonnées possibles.
Symboles mathématiques
∀x ∈ R+, ∃y ∈ R+, x = y2, ce qui signifie que pour tout réel positif x, il existe un réel positif y tel que x = y2.
Un intervalle est ouvert lorsque les valeurs qui l'encadrent ne sont pas incluses dans l'intervalle. Il se présente avec les crochets vers l'extérieur.
Les nombres entiers, représentés par Z , regroupent tous les nombres entiers positifs et négatifs. On utilise fréquemment l'appellation nombres entiers relatifs. On peut voir l'ensemble des nombres entiers comme l'ensemble regroupant les nombres entiers naturels (N) et leurs opposés, les nombres entiers négatifs.
Les nombres naturels, représentés par N , regroupent tous les nombres entiers compris entre 0 inclusivement et l'infini positif. On utilise parfois l'appellation nombres entiers naturels pour désigner cet ensemble. Les nombres naturels représentent tous les nombres entiers positifs.
Oui, 0 appartient à Q. En effet, 0 peut être écrit comme la fraction 0/1, où 0 est un entier et 1 est un entier non nul.
Un ensemble est exprimé en extension lorsqu'il est défini par la liste explicite de ses éléments. Ainsi, on doit énumérer, entre accolades, tous les éléments qui font partie de l'ensemble. L'ensemble des nombres naturels impairs compris entre 2 et 10.
L'ensemble des solutions est l'ensemble des réels privé de 2, ce qui s'écrit S=R∖{2}. S = R ∖ { 2 } . Lorsque l'équation admet deux ou plusieurs solutions, on les présente en les séparant par des points-virgules.
En mathématique, il existe l' ensemble des entiers naturels N (ou ℕ), l' ensemble des entiers relatifs Z (ou ℤ), l' ensemble des nombres rationnels Q (ou ℚ), l' ensemble des nombres réels R (ou ℝ) et l' ensemble des nombres complexes C (ou ℂ). Ces 5 ensembles sont parfois abrégés en NZQRC.
Les sous-ensembles de E forment un ensemble appelé ensemble des parties de E et noté P(E). Exemple - Si E = {1, 2}, alors P(E) = {∅, {1}, {2},E}. Remarque - Les trois assertions x ∈ E, {x} ⊂ E et {x} ∈ P(E) sont équivalentes.