Pour montrer que la famille {v1,v2,v3} est une base nous allons montrer que cette famille est libre et génératrice. Ainsi les coefficients vérifient a = b = c = 0, cela prouve que la famille est libre. (b) Montrons que la famille {v1,v2,v3} est génératrice.
Exemple. La famille (u_1=(1,0), u_2=(0,1)) \in \mathbb{R^2} est libre, car ces deux vecteurs sont non colinéaires. La dimension de l'espace vectoriel \mathbb{R^2} étant 2, alors la famille u_1, u_2 est génératrice de \mathbb{R^2} (elle est donc une base de \mathbb{R^2}).
Or detA = ad − bc est nul ssi les vecteurs u et v sont colinéaires, donc detA = 0 et A est inversible et on peut trouver λ et µ tels que x = λu + µv, donc la famille (u, v) est bien une base de R2.
Définition d'une base
Une famille de vecteurs de E est une base de E si c'est une famille à la fois génératrice de E et libre. De façon équivalente, une famille est une base de l'espace vectoriel E quand tout vecteur de l'espace se décompose de façon unique en une combinaison linéaire de vecteurs de cette base.
L'espace vectoriel R 3 a pour dimension 3 . La partie { u , v , w } contient exactement trois vecteurs, aussi, pour démontrer que ( u , v , w ) est une base de R 3 , il suffit de démontrer que la partie { u , v , w } est une partie libre. Le triplet ( 0 , 0 , 0 ) est l'unique solution du système ( S ) .
Une base vectorielle est un ensemble de vecteurs qui permet d'exprimer n'importe quel autre vecteur à l'aide d'une combinaison linéaire. On peut décomposer n'importe quel vecteur en deux dimensions en une somme de deux autres vecteurs lesquels sont multipliés par des scalaires.
Une famille est liée si elle n'est pas libre. Une famille est génératrice si tout vecteur de l'espace s'écrit comme combinaison linéaire finie des vecteurs de la famille.
Les solutions acides ont un pH inférieur à 7. Les solutions basiques ont un pH supérieur à 7. En présence d'un acide, le papier tournesol bleu devient rouge.
Une base peut être représentée par la formule générique B. Lorsque la base B est mise en présence d'eau, la réaction suivante a lieu : B + H2O ↔ BH+ + OH− (1) La constante de cette réaction est appelée constante de basicité et on la note Kb.
La base est définie par le nombre de signes différents qui permettent d'écrire un nombre. En base 10 → 10 chiffres En base 3 → 3 chiffres (0,1,2). Dans une base « B », les chiffres ont tous une valeur inférieure à « B ». Ex : en base 5, les chiffres utilisés sont 0, 1, 2, 3, 4.
Autrement dit, une famille est libre lorsque la seule combili de ses vecteurs qui donne le vecteur 0 est celle dont tous les coefficients sont nuls. Inversément, une famille est liée lorsqu'il existe une combili de ses vecteurs qui donne 0 et dont les coefficients ne sont pas tous nuls.
En algèbre linéaire, une famille génératrice est une famille de vecteurs d'un espace vectoriel dont les combinaisons linéaires permettent de construire tous les autres vecteurs de l'espace. d'éléments de E (vecteurs) est dite génératrice de E si : . Si en plus la famille est libre, alors c'est une base de E.
Si on enlève un vecteur à une famille libre, alors elle ne peut plus être génératrice. En effet, le vecteur que l'on vient d'enlever n'est pas combinaison linéaire des autres, donc il n'est pas dans l'espace engendré par les autres.
Tout espace vectoriel de type fini (c'est-à-dire admettant une famille finie de générateurs), non réduit à , admet une base.
Si , et sont trois vecteurs non coplanaires, alors ils constituent une base de l'espace. On note cette base . Soit une base de l'espace, alors, pour tout vecteur de l'espace, il existe un unique triplet (x ; y ; z) de réels tels que . Dans ce cas, on dit que l'on a décomposé en fonction de , et .
Pour démontrer que F est un sous-espace vectoriel de E , on applique la caractérisation des sous-espaces vectoriels, c'est-à-dire qu'on vérifie que 0E∈F 0 E ∈ F et que, pour tout couple (x,y)∈F2 ( x , y ) ∈ F 2 et tout scalaire λ∈K λ ∈ K , on a {x+y∈Fλx∈F. { x + y ∈ F λ x ∈ F .
Origine, fondement, principe de quelque chose, ce sur quoi tout repose (souvent pluriel) : Établir les bases d'un accord.
Une réaction acido- basique s'écrit toujours de la forme : acide1 + base2 → acide2 + base1. On peut donc identifier les couples qui participent à cette réaction si on se souvient que : acide1 = base1 + H+ et base2 + H+ = acide2.
la base est la face inférieure (supposée horizontale) d'un solide tels qu'un cône ou une pyramide ; les deux bases sont les deux faces opposées d'un solide tels qu'un cylindre ou un prisme.
Une base B appartenant à un couple acide-base de pKa supérieur à 14 sera donc totalement transformée en ions OH- : on dit qu'il s'agit alors d'une base forte. Une base B appartenant à un couple acide-base de pKa positif ne sera que partiellement transformé en ions OH- : on dit qu'il s'agit alors d'une base faible.
Un acide est une substance capable de donner un ou plusieurs protons sous forme d'ion hydrogène H+ à une autre substance : c'est un donneur de proton. Une base est une substance capable de recevoir un ou plusieurs protons sous forme d'ion hydrogène H+ provenant d'une autre substance : c'est un accepteur de proton.
Un acide est un corps capable de céder un ou des protons (une particule fondamentale chargée d'électricité positive) et une base est un corps capable de capter un ou des protons. Chacun a ses caractéristiques.
Pour compléter une famille libre (v1,…,vp) ( v 1 , … , v p ) d'un espace vectoriel E , on utilise le théorème de la base incomplète : si (e1,…,en) ( e 1 , … , e n ) est une base de E , on sait qu'on peut compléter (v1,…,vp) ( v 1 , … , v p ) avec n−p vecteurs de (e1,…,en) ( e 1 , … , e n ) pour obtenir une base de E .
On dit que deux vecteurs sont colinéaires si, en multipliant les composantes de l'un des vecteurs par un scalaire k (constante), on obtient les composantes de l'autre vecteur.
Démonstration : a) Soit d := max{k ≥ 0 : ∃ e1, ..., ek ∈ E,{e1, ..., ek} est libre}. Comme la famille vide est libre et comme une famille libre a au plus n éléments, l'en- tier d est bien défini. Si {e1, ..., ed} est une famille libre, elle est forcément libre maximale.