- Dire que f est décroissante sur I (respectivement strictement décroissante sur I) signifie que pour tous réels a et b de I : si a < b alors f (a) ≥ f (b) (respectivement si a < b alors f (a) > f (b)).
Pour déterminer les intervalles de croissance et de décroissance strictes d'une fonction, on peut étudier sa dérivée, 𝑓 ′ ( 𝑥 ) . Si 𝑓 est dérivable sur un intervalle ouvert, alors 𝑓 est strictement croissante sur les intervalles où 𝑓 ′ ( 𝑥 ) > 0 et est strictement décroissante sur les intervalles où 𝑓 ′ ( 𝑥 ) < 0 .
Si [a,b] est un intervalle du domaine d'une fonction f, on dit que la fonction f est décroissante dans l'intervalle [a,b] si et seulement si pour tout élément x1 et x2 de [a,b], si x1<x2, alors f(x1)≥f(x2).
Théorème : Soit I un intervalle de R et f:I→R f : I → R dérivable. Alors : f est croissante sur I si et seulement si, pour tout x∈I x ∈ I , f′(x)≥0 f ′ ( x ) ≥ 0 ; f est strictement croissante sur I si et seulement si f′≥0 f ′ ≥ 0 et si f′ n'est identiquement nulle sur aucun intervalle [a,b]⊂I [ a , b ] ⊂ I avec a<b .
Propriété : Soit �� une fonction affine définie sur ℝ par ��(��) = ���� + ��. Si ��>0, alors �� est croissante. Si ��<0, alors �� est décroissante. Si ��=0, alors �� est constante.
Une fonction f est décroissante sur un intervalle I lorsqu'elle inverse l'ordre des nombres sur cet intervalle. Autrement dit, quelque soient les réels et appartenant à I, si alors f ( a ) ≥ f ( b ) .
Si f ^ { \prime } est strictement positive sur \text{I,} sauf pour un nombre fini de réels où elle s'annule, alors f est strictement croissante sur \text{I.} Si f ^ { \prime } est strictement négative sur \text{I,} sauf pour un nombre fini de réels où elle s'annule, alors f est strictement décroissante sur \text{I.}
On dit qu'une fonction f est strictement croissante ssi pour x et y dans le DD de f , si on a x < y, on a aussi f (x) < f (y). En langage plus formel, ça donne ∀x,y ∈ DD(f ),x < y ⇒ f (x) < f (y). La fonction cube x ↦→ x3 est strictement croissante, bien que sa dérivée s'annule (en zéro).
La fonction f est convexe sur I si sa dérivée f ' est croissante sur I, soit f ''(x) ≥ 0 pour tout x de I. La fonction f est concave sur I si sa dérivée f ' est décroissante sur I, soit f ''(x) ≤ 0 pour tout x de I. Soit la fonction f définie sur R par f (x) = 1 3 x3 −9x2 + 4.
Lorsque la courbe est au-dessus de l'axe des abscisses, la fonction est positive, et lorsque la courbe est en dessous de l'axe des abscisses, la fonction est négative. Pour calculer le point où la fonction est égale à zéro, nous allons poser 𝑓 de 𝑥 égal à zéro.
Conseil On peut s'aider de la courbe de f pour conjecturer si elle paire, impaire ou ni l'un ni l'autre. Si f(−x)=f(x) alors f est paire. Si f(−x)=−f(x) alors f est impaire.
Le sens de variation d'une fonction affine dépend du signe du coefficient directeur a a a. Ce coefficient directeur représente la « pente » de la droite représentative de f f f. Si a > 0 a > 0 a>0 la fonction est croissante, la droite « monte ». Si a = 0 a=0 a=0 la fonction est constante, la droite est horizontale.
Une des méthodes les plus couramment utilisées pour déterminer le sens de variation d'une fonction est l'étude du signe de sa dérivée. ➕/➖ La dérivée d'une fonction représente son taux de variation instantanée, et son signe nous renseigne sur la croissance ou la décroissance de la fonction.
On dit que f est monotone sur I si elle est croissante sur I ou décroissante sur I. Si f est dérivable sur I et si, pour tout x de I, on a f (x) ≥ 0, alors f est croissante sur I. Si f est dérivable sur I et si, pour tout x de I, on a f (x) ≤ 0, alors f est decroissante sur I.
La fonction racine carrée est strictement croissante sur \mathbb { R } ^ { + } donc si 0 \leqslant a \lt b , alors \sqrt { a } \lt \sqrt { b } l'ordre est conservé.
Énoncé On appelle généralement fonction nulle la fonction constante définie sur l'ensemble des nombres réels ou complexes par : ƒ(x) = 0.
Une fonction f:I→R f : I → R est strictement convexe si ∀(x,y)∈I2,x≠y, ∀t∈]0,1[, f(tx+(1−t)y)<tf(x)+(1−t)f(y).
f est convexe sur I si et seulement si sa dérivée f ' est croissante sur I. f est concave sur I si et seulement si sa dérivée f ' est décroissante sur I. Remarque : une fonction est croissante lorsque sa dérivée est positive. Il apparaît donc logique de s'intéresser au signe de la dérivée de f '(x).
Une fonction convexe possède une dérivée première croissante ce qui lui donne l'allure de courber vers le haut. Au contraire, une fonction concave possède une dérivée première décroissante ce qui lui donne l'allure de courber vers le bas.
▶ Si un+1 − un est positive, alors la suite (un) est croissante. ▶ Si un+1 − un est négative, alors la suite (un) est décroissante. b) Si tous les termes de la suite sont strictement positifs, alors il suffit de comparer le rapport un+1 un à 1. ▶ Si un+1 un ⩾ 1, alors la suite (un) est croissante.
La fonction cube est strictement croissante sur l'intervalle . La fonction cube est une fonction impaire, donc sa courbe représentative est symétrique par rapport à l'origine du repère.
Soient a et b deux points de I et k un nombre compris entre ƒ(a) et ƒ(b). De plus, on suppose que ƒ est strictement monotone sur I. Alors il existe un unique point c compris entre a et b tel que ƒ(c) = k. Autrement dit, l'équation ƒ(x) = k admet une unique solution comprise entre a et b.
Une fonction f:I→R f : I → R est donc dérivable en a si et seulement s'il existe α∈R α ∈ R et une fonction ε définie dans un intervalle J ouvert contenant 0 , vérifiant limh→0ε(h)=0 lim h → 0 ε ( h ) = 0 tels que ∀h∈J, f(a+h)=f(a)+αh+hε(h). ∀ h ∈ J , f ( a + h ) = f ( a ) + α h + h ε ( h ) .
Attention, si la dérivée s'annule en un point mais ne change pas signe autour de ce point, il ne s'agit pas d'un extremum. Par exemple, si f(x) = x3 alors f′(x)=2x2 et f′(0) = 0 mais f′ ne change pas de signe et 0 n'est pas un extremum de f. 1.
Pour dresser le tableau de variations d'une fonction, il faut calculer la dérivée, étudier le signe de celle-ci, et compléter les valeurs aux extrémités de chacune des flèches placées, en faisant attention aux éventuelles valeurs interdites sur l'intervalle d'étude.