Pour montrer qu'une suite (Un) n'est pas arithmétique, il suffit de calculer les 3 premiers termes U0, U1 et U2 (ou parfois les 4 ou 5 premiers, si les 3 premiers ne suffisent pas) et de constater que U_2 - U_1 \ne U_1 - U_0.
Une suite (un) est géométrique si et seulement si pour tout entier naturel n, un+1=a×un où a est un nombre indépendant de n. Pour démontrer qu'un suite est géométrique, on peut donc montrer qu'elle respecte bien la relation un+1=a×un. Donc (un) est géométrique de raison a.
En mathématiques, une suite arithmético-géométrique est une suite satisfaisant une relation de récurrence affine, généralisant ainsi les définitions des suites arithmétiques et géométriques.
Une suite est géométrique si le quotient de deux termes consécutifs est constant. Ce quotient constant s'appelle la raison de la suite.
Une suite (un) est géométrique de raison q si, pour tout entier naturel n, on a un+1=qun. u n + 1 = q u n . Cette expression utilise la récurrence.
On considère une suite géométrique (un) dont on connaît la raison q et le premier terme u0. Alors, pour tout entier naturel n, un=u0×qn.
(un) est bien définie si ∀n, un+1 ≥ 0, c'est `a dire si un ≥ −1. Pour tout choix de u0 ∈ [−1, +∞[, on aura alors ∀n ≥ 1,un ≥ 0 (récurrence immédiate), et donc la suite sera bien définie.
Tout comme pour une suite arithmétique, l'expression de Un en fonction de n pour une suite géométrique est très simple. Il faut connaître la valeur de la raison et du premier terme de la suite. En général, la justification de la suite géométrique est un préalable. Cette question précède souvent le calcul de la limite.
Sens de variation d'une suite
Une suite est dite croissante si pour tout entier , u n + 1 ≥ u n . Une suite est dite décroissante si pour tout entier , u n + 1 ≤ u n .
Les suites numériques représentent une notion qui apparaıt naturellement dans la vie courante. Part exemple, vous disposez d'un capital C que vous décidez de placez sur un livret d'épargne logement en vue d'une future acquisition. Le livret est rémunéré `a 3,12%. Notons cn le capital que vous avez au bout de n années.
Une suite (Un) est dite arithmétique si pour tout n entier naturel on a: Un+1=Un+ r où r est la raison de cette suite. Si on obtient une valeur constante alors la suite (Un) est une suite arithmétique. Si on obtient une valeur qui dépend de n alors la suite n'est pas une suite arithmétique.
Un+1 - Un = [5n + 5 + 3] - [5n +3]. Un+1 - Un = [5n + 8] - [5n +3]. Un+1 - Un = 5n + 8 - 5n - 3 Un+1 - Un = 5. La différence Un+1 - Un est un réel ne dépendant pas de n (constant), donc la suite (Un) est arithmétique de raison r=5 et de premier terme U0= 3.
→ U10 = U1 + 9 x 5
Plus généralement, exprimer Un en fonction de U1 et n.
La plupart des suites sont définies de cette manière : un terme initial et une relation de récurrence entre un terme et son suivant. C'est la définition classique par récurrence. Cependant il arrive que la suite soit directement définie par une formule générale qui te donne U_n en fonction de n.
Une suite non numérique est une liste d'éléments, autres que des nombres, placés dans un ordre déterminé. Une suite non numérique peut être formée par une suite de couleurs, de sons, de formes géométriques, de gestes.
Il suffit de prendre une suite nulle pour ses termes impairs et non nulle pour au moins l'un des termes pairs. Et l'autre suite nulle pour ses termes pairs et ce que l'on veut pour les autres termes (sauf un qui doit être non nul).
Soit (un) une suite géométrique de raison q et de premier terme u1 = a, a étant un réel non nul. On a donc un = aqn−1. Pour trouver la raison d'une suite géométrique, si l'on connaît le premier et le dernier de n termes consécutifs, il faut extraire la racine (n−1)ième du quotient du dernier terme par le premier.
Pour les suites arithmétiques, la relation de récurrence est donc très simple : on ajoute toujours le même nombre entre deux termes consécutifs. Autrement dit, u_{n+1} = u_n + r. Où r est un réel fixé qu'on appelle la raison de la suite.
Ici, dans les expressions obtenues, on aura u1 en fonction de u0 ; u2 en fonction de u1 ; u3 en fonction de u2... Comme u0 = 1, on a u0+1 = −3u0 +2 soit u1 = −3×1+2 = −1 u1+1 = −3u1 +2 soit u2 = −3×(−1)+2 = 5 u3 = −3u2 +2 = −3×5+2 = −13 u4 = −3u3 +2 = −3×(−13)+2 = 41 u5 = −3u4 +2 = −3×41+2 = −121.