Une suite géométrique est une suite telle que chaque terme se déduit du précédent par la multiplication par un réel constant (également appelé la raison de la suite). Pour montrer qu'une suite (Vn) est géométrique, on montre qu'il existe un réel q constant tel que, pour tout entier n, V_{n + 1} = q \times V_n.
Autrement dit, une suite est géométrique si et seulement si chaque terme s'obtient en multipliant le précédent par un nombre réel q, toujours le même.
Une suite (vn)est dite géométrique lorsqu'il existe un nombre réel non nul q tel que, pour tout entier naturel n, vn+1=q×vn. Le nombre réel q est appelé la raison de la suite (vn).
Solution. Calculons u 1 u 0 et u 2 u 1 : ² ² u 1 u 0 = 1 ² + 1 / 0 ² + 1 = 2 et ² ² u 2 u 1 = 2 ² + 1 1 ² + 1 = 5 2 . Ces deux nombres sont différents donc la suite ( u n ) n'est pas géométrique.
Une suite (un) est géométrique si et seulement si pour tout entier naturel n, un+1=a×un où a est un nombre indépendant de n. Pour démontrer qu'un suite est géométrique, on peut donc montrer qu'elle respecte bien la relation un+1=a×un. Donc (un) est géométrique de raison a.
On considère une suite géométrique (un) dont on connaît la raison q et le premier terme u0. Alors, pour tout entier naturel n, un=u0×qn.
Une suite (un) est géométrique de raison q si, pour tout entier naturel n, on a un+1=qun. u n + 1 = q u n . Cette expression utilise la récurrence. Elle signifie que l'on multiplie toujours un terme de la suite par le même réel pour obtenir le suivant.
Si, pour tout entier naturel n, u_{n+1}-u_{n} est égal à une constante r, on peut conclure que la suite est arithmétique de raison r. On précise alors son premier terme.
Une suite est géométrique si le quotient de deux termes consécutifs est constant. Ce quotient constant s'appelle la raison de la suite.
Pour déterminer le sens de variation d'une suite (un), on peut utiliser l'une des règles suivantes : a) On étudie le signe de la différence un+1 − un. ▶ Si un+1 − un est positive, alors la suite (un) est croissante. ▶ Si un+1 − un est négative, alors la suite (un) est décroissante.
Terme général
Une suite géométrique est donc entièrement déterminée par la donnée de son premier terme et par sa raison q. qui suit la même relation de récurrence. Ce cas se ramène au cas précédent en posant vn = un0+n qui est géométrique de même raison que un à partir de v0 = un0.
Méthode pour étudier le sens de variation d'une suite
Calculer et étudier le signe de u n + 1 − u n pour tout : Si pour tout , u n + 1 − u n ≥ 0 alors la suite est croissante. Si pour tout , u n + 1 − u n ≤ 0 alors la suite est décroissante.
La raison d'une suite arithmétique, dont le premier terme u1 est égal à a , est donnée par la formule : r=un−an−1 r = u n - a n - 1 . Ce résultat signifie que, pour déterminer la raison, il faut retrancher au dernier terme le premier, puis diviser le résultat obtenu par le nombre de termes diminué de 1.
Calculer la limite d'une suite géométrique est simple si on connaît un certain nombre d'éléments qui influent sur la valeur finale. La valeur de la raison a un rôle plus que significatif, complété par le signe du premier terme éventuellement.
En mathématiques, une suite arithmético-géométrique est une suite satisfaisant une relation de récurrence affine, généralisant ainsi les définitions des suites arithmétiques et géométriques.
Pour une suite géométrique de raison –0,3 et de premier terme u0 = 7, on peut écrire un = u0 × (–0,3)n et ainsi connaitre directement la valeur de n'importe quel terme de la suite. Par exemple, u4 = 7 × (–0,3)4 = 7 × 0,0081 = 0,0567.
Ici, dans les expressions obtenues, on aura u1 en fonction de u0 ; u2 en fonction de u1 ; u3 en fonction de u2... Comme u0 = 1, on a u0+1 = −3u0 +2 soit u1 = −3×1+2 = −1 u1+1 = −3u1 +2 soit u2 = −3×(−1)+2 = 5 u3 = −3u2 +2 = −3×5+2 = −13 u4 = −3u3 +2 = −3×(−13)+2 = 41 u5 = −3u4 +2 = −3×41+2 = −121. 2.
Si le premier terme de la suite est u 1 u_1 u1u, start subscript, 1, end subscript et si la formule explicite est sous la forme u n = a + b n u_n=a+bn un=a+bnu, start subscript, n, end subscript, equals, a, plus, b, n, alors u 1 u_1 u1u, start subscript, 1, end subscript n'est pas égal à a et la raison de la suite n' ...
(un) est bien définie si ∀n, un+1 ≥ 0, c'est `a dire si un ≥ −1. Pour tout choix de u0 ∈ [−1, +∞[, on aura alors ∀n ≥ 1,un ≥ 0 (récurrence immédiate), et donc la suite sera bien définie.
Une suite à la fois croissante et décroissante est une suite constante : elle vérifie pour tout n. Si la suite est définie à partir d'un certain rang p , on dira qu'elle est croissante (respectivement décroissante) lorsque (respectivement ) .
Soit (un) une suite géométrique de raison q et de premier terme u1 = a, a étant un réel non nul. On a donc un = aqn−1. Pour trouver la raison d'une suite géométrique, si l'on connaît le premier et le dernier de n termes consécutifs, il faut extraire la racine (n−1)ième du quotient du dernier terme par le premier.
Un+1 - Un = [5n + 5 + 3] - [5n +3]. Un+1 - Un = [5n + 8] - [5n +3]. Un+1 - Un = 5n + 8 - 5n - 3 Un+1 - Un = 5. La différence Un+1 - Un est un réel ne dépendant pas de n (constant), donc la suite (Un) est arithmétique de raison r=5 et de premier terme U0= 3.