Pour démontrer que F est un sous-espace vectoriel de E , on applique la caractérisation des sous-espaces vectoriels, c'est-à-dire qu'on vérifie que 0E∈F 0 E ∈ F et que, pour tout couple (x,y)∈F2 ( x , y ) ∈ F 2 et tout scalaire λ∈K λ ∈ K , on a {x+y∈Fλx∈F. { x + y ∈ F λ x ∈ F .
Pour montrer que f est une application linéaire, il suffit de vérifier que f(u + λv) = f(u) + λf(v) pour tous u, v ∈ E,λ ∈ K.
Il suffit donc de montrer que {x1 + x2 ; x1 ∈ E1,x2 ∈ E2} est un espace vectoriel, ce qui est clair. On définit de même par récurrence (et associativité de la loi additive sur E) la somme de n espaces vectoriels. On note alors E = E1 ⊕ E2. Proposition 17 – E est somme directe de E1 et E2 si et seulement si ∀x ∈ E, ∃!(
Pour démontrer qu'un ensemble n'est pas un sous-espace vectoriel, il suffit de trouver un contre-exemple : vérifiez d'abord si 0 appartient à l'ensemble : si ce n'est pas le cas, c'est terminé. Sinon, vérifiez si l'opposé d'un vecteur de l'ensemble est dans l'ensemble.
Définition 4 Une famille F = { v1,..., vn} d'un espace vectoriel V sur un corps K est dite base de V lorsqu'elle est libre et génératrice. Par exemple la famille {(1, 1, 1), (1, 2, 3), (1, 2, 4)} est une base de R3.
En algèbre linéaire, une famille génératrice est une famille de vecteurs d'un espace vectoriel dont les combinaisons linéaires permettent de construire tous les autres vecteurs de l'espace. d'éléments de E (vecteurs) est dite génératrice de E si : . Si en plus la famille est libre, alors c'est une base de E.
Pour montrer que la famille {v1,v2,v3} est une base nous allons montrer que cette famille est libre et génératrice. Ainsi les coefficients vérifient a = b = c = 0, cela prouve que la famille est libre.
Propriétés des espaces vectoriels de dimension finie
Toute famille libre de E a au plus n vecteurs et toute famille génératrice en a au moins n. Pour qu'une famille d'exactement n vecteurs soit une base, il suffit qu'elle soit libre ou génératrice : elle est alors les deux.
Pour montrer que les sous-espaces vectoriels F et G sont supplémentaires, il suffit de montrer que F ∩ G = {0} et dimF + dimG = dimE. dim(F + G) = dimF + dimG − dim(F ∩ G). dim(F + G) = dimF + dimG − dim(F ∩ G).
On dit que F est un sous-espace vectoriel de E, si c'est un espace vectoriel et que F ⊂ E. Exemple : R2 est un sous-espace vectoriel de R3. Pour montrer qu'un ensemble est un espace vectoriel, il suffit souvent de montrer que c'est un sous-espace vectoriel d'un espace vectoriel connu.
Autrement dit, une partie F de E est un sous-espace vectoriel si elle n'est pas vide, et est stable par combinaison linéaire. Exemples : {(x,y,z)∈R3; x+y−3z=0} { ( x , y , z ) ∈ R 3 ; x + y − 3 z = 0 } est un sous-espace vectoriel de R3 .
Donc (Q,|. |) est un espace vectoriel normé de dimension finie.
Soit u un élément non nul d'un espace vectoriel E . L'ensemble des multiples de u par les réels est appelé droite vectorielle engendrée par u . Nous désignerons souvent par la notation Du , la droite engendrée par u . On a donc : Du = {m / m = µ·u , µ ∈ R} .
Bases et propriétés d'une application linéaire
f est injective si et seulement si ( f ( a 1 ) , f ( a 2 ) , . . . , f ( a n ) ) est une suite libre de F . f est surjective si et seulement si ( f ( a 1 ) , f ( a 2 ) , . . . , f ( a n ) ) engendre F .
Une application entre deux espaces vectoriels est dite linéaire si elle respecte les deux opérations définissant la structure.
On dit que f est une application affine s'il existe un point a de E et une application linéaire f de E dans F tels que, pour tout point x de E, on ait la formule : (1) f(x) = f(a) + f(−→ ax). Alors, pour tout point b de E, on a aussi : f(x) = f(b) + f( −→ bx).
Bonne définition La dimension du sous-espace vectoriel des solutions d'un syst`eme d'équations homog`enes est donnée par la formule : Dimension (du sev des solutions) = nombre d'inconnues -rang du syst`eme d'équations.
Deux sous-espaces vectoriels et d'un vectoriel sont des sous-espaces vectoriels supplémentaires de si et seulement si tout élément de s'écrit d'une manière unique comme la somme d'un élément de et d'un élément de .
Si une famille comporte le vecteur nul alors c'est une famille liée, i.e. non libre. Si on parvient à identifier un vecteur nul alors on peut être assuré que toute famille contenant ce vecteur est liée. f(t)dt = 0. Montrer que (x ↦→ x, x ↦→ ex + 1, f) est une famille liée.
Définitions. On apelle vecteur un segment de droite orienté noté . A est l'origine du vecteur et B son extrémité. On distingue trois types de vecteurs: vecteurs libres, glissants et liés.
Soit H un sous-espace vectoriel d'un espace vectoriel E de dimension finie. (1) H est un hyperplan si et seulement si c'est le noyau d'une forme linéaire non nulle. (2) Si H = Ker(ϕ) = Ker(ψ), alors il existe λ ∈ R∗ tel que ϕ = λψ.
Les éléments de E sont appelés des vecteurs et les éléments de K sont appelés des scalaires. Exemples : Kn , K[X] , Mn,p(K) M n , p ( K ) sont des espaces vectoriels.
Une famille de vecteurs de E est une base de E si c'est une famille à la fois génératrice de E et libre. De façon équivalente, une famille est une base de l'espace vectoriel E quand tout vecteur de l'espace se décompose de façon unique en une combinaison linéaire de vecteurs de cette base.
Des vecteurs V 1 , … , V n sont linéairement dépendants s'ils possèdent une relation de dépendance linéaire, ∑ i = 1 n λ i V i = 0 (avec les non tous nuls). On peut dire aussi qu'ils forment une famille liée. Toute famille qui contient une famille liée est liée. Toute famille contenant 0 est liée.
toute famille réduite à un seul vecteur non nul est libre. toute famille comportant le vecteur nul est liée (c'est-à-dire : non libre) toute sous-famille d'une famille libre est libre. une famille est libre si, et seulement si, aucun des vecteurs qui la composent n'est combinaison linéaire des autres.