Pour démontrer qu'un espace vectoriel normé E est un espace de Banach, la méthode usuelle est la suivante : on considère une suite (xn) de Cauchy de E . on fabrique une limite possible de la suite (xn) , que l'on notera x . Bien souvent, pour ce point, on utilise qu'un autre espace est complet.
Un espace vectoriel normé qui est complet s'appelle espace de Banach. Par exemple, (R,|⋅|) , (C,|⋅|) sont complets.
Un espace métrique est complet si et seulement si toute suite décroissante de fermés non vides dont la suite des diamètres tend vers 0 a une intersection non vide (voir Théorème des fermés emboîtés).
Il suffit donc de montrer que {x1 + x2 ; x1 ∈ E1,x2 ∈ E2} est un espace vectoriel, ce qui est clair. On définit de même par récurrence (et associativité de la loi additive sur E) la somme de n espaces vectoriels. On note alors E = E1 ⊕ E2.
Un espace métrique est compact si et seulement si de toute intersection vide de fermés de E, on peut en extraire une sous-famille finie d'intersection vide. En d'autres termes, si (Fi)i∈I est une famille de fermés telle que ⋂i∈I Fi = ∅, alors il existe J ⊂ I fini tel que ⋂i∈J Fi = ∅.
Démonstration. D'apr`es le cours, un ensemble qui admet un plus petit élément admet également une borne inférieure et, dans ce cas, la borne inférieure est égale au plus petit élément. Comme B admet 1 pour plus petit élément, B admet également une borne inférieure et celle-ci est aussi 1. B n'est pas majoré.
2. Si d1 et d2 sont des distances Lipschitz-équivalentes sur un ensemble X, on vérifie que (X,d1) est complet si, et seulement si, (X,d2) l'est. −x − e−y |. Alors l'espace (R,d) n'est pas un espace métrique complet.
Une partie F de E est appelée un sous-espace vectoriel si : • 0E ∈ F, • u + v ∈ F pour tous u, v ∈ F, • λ · u ∈ F pour tout λ ∈ et tout u ∈ F. Remarque. Expliquons chaque condition. La première condition signifie que le vecteur nul de E doit aussi être dans F.
Un espace affine peut être vu comme un espace vectoriel dont on a oublié l'origine. Pour A∈E A ∈ E , ⃗u∈E u → ∈ E et B=A+⃗u B = A + u → , on note ⃗u=−−→AB u → = A B → . Le point A étant fixé, l'application θA:E→E, B↦−−→AB θ A : E → E , B ↦ A B → est une bijection.
Si z = ρeiα alors Rθ(z) = ρei(α+θ) : Rθ est la rotation d'angle θ. C'est un endormorphisme du R-espace vectoriel C car si z,z ∈ C et λ ∈ R alors Rθ(z + λz ) = eiθ(z + λz ) = eiθz + λeiθz = Rθ(z) + λRθ(z ). Remarque. Rθ est aussi un endomorphisme de C vu comme un C-espace vectoriel.
On peut donc appliquer le thérème du point fixe. Pour tout y ∈ B(f(a),δ) il existe un unique x ∈ B(a, r) tel que φy(x) = x, soit f(x) = y. Notant g(y) ce point fixe, g est donc une bijection de B(f(a),δ) dans son image W ⊂ B(a, r) par g, et g est la réciproque de la restriction de f à W.
On parle alors notamment d'espace vécu ou d'espace de vie, mais aussi d'espace social, d'espace mental, d'espace fréquenté, d'image régionale ou de géographie du comportement... Les chercheurs tentent donc de dessiner les limites de différents types d'espaces.
On conçoit facilement qu'une suite convergente est de Cauchy, c'est une conséquence de l'inégalité triangulaire : si | u p − l | et | u n − l | sont petits il en est de même pour | u p − u n | .
On dit que L est un isomorphisme d'espaces de Hilbert si les deux propriétés suivantes sont vérifiées : (i) l'application L est bijective. (ii) l'application L est une isométrie, i.e. L(x)H2 = xH1 pour tout x ∈ H1. Exemple : l'application S : l2(N;C) → l2(N;C) (dite de ≪ décalage ≫) définie par S((x0,x1,x2,...,xn,...))
Ainsi ℝ n'est pas compact, puisque la fonction identité, qui à x associe x lui-même, est continue mais non bornée. Ce même ensemble, privé du nombre 0 n'est pas davantage compact, comme on le voit en considérant la fonction inverse qui à x associe 1 /x.
On dit que f est une application affine s'il existe un point a de E et une application linéaire f de E dans F tels que, pour tout point x de E, on ait la formule : (1) f(x) = f(a) + f(−→ ax). Alors, pour tout point b de E, on a aussi : f(x) = f(b) + f( −→ bx).
Une transformation f est affine si elle laisse invariantes les combinaisons affines : De manière concrète cela signifie par exemple, que le point milieu d'un segment de droite a son image au milieu de l'image du segment de droite...
En mathématiques, le barycentre d'un ensemble fini de points du plan ou de l'espace est un point qui permet de réduire certaines combinaisons linéaires de vecteurs.
Propriétés des espaces vectoriels de dimension finie
Toute famille libre de E a au plus n vecteurs et toute famille génératrice en a au moins n. Pour qu'une famille d'exactement n vecteurs soit une base, il suffit qu'elle soit libre ou génératrice : elle est alors les deux.
Définition 4 Une famille F = { v1,..., vn} d'un espace vectoriel V sur un corps K est dite base de V lorsqu'elle est libre et génératrice. Par exemple la famille {(1, 1, 1), (1, 2, 3), (1, 2, 4)} est une base de R3.
Les sous-ensembles de E forment un ensemble appelé ensemble des parties de E et noté P(E). Exemple - Si E = {1, 2}, alors P(E) = {∅, {1}, {2},E}. Remarque - Les trois assertions x ∈ E, {x} ⊂ E et {x} ∈ P(E) sont équivalentes.
Comment démontrer que deux normes ne sont pas équivalentes? Pour démontrer que N1 et N2 ne sont pas deux normes équivalentes, le plus souvent on cherche une suite (xn) d'éléments de E telle que N1(xn)N2(xn)→0 ou N1(xn)N2(xn)→+∞.
si A est d'interieur vide, cela signifie qu'il ne contient aucun ouvert. en d'autre terme, le meilleur moyen de le montrer est de dir que pour tout element x de A, il n'existe pas de boule aussi petite soit elle autour de x contenue dans A. formellemnt : A d'interieur vide ⇔∀x∈A, ∀ϵ>0, ∃y∈B(x,ϵ) tq y∉A.
En 1675, le savant italien Tito Livio Burattini publie Misura Universale, ouvrage dans lequel il renomme la mesure universelle de Wilkins en mètre universel « metro cattolico » et la redéfinit comme étant la longueur d'un pendule qui oscille avec une demi-période d'une seconde, soit environ 993,9 mm actuels.