Une base est orthogonale relativement à une forme bilinéaire symétrique si et seulement si la matrice associée à par rapport à cette base est une matrice diagonale, les termes de la diagonale principale pouvant être nuls ou non.
Chercher une base orthogonale de R 4 relativement à q , c'est chercher une base ( ϵ 1 , ϵ 2 , ϵ 3 , ϵ 4 ) telle que ∀ ( i , j ) , 1 ≤ i ≤ 4 , 1 ≤ j ≤ 4 , f i ( ϵ j ) = δ i j = { 1 si i = j 0 si i ≠ j .
Une famille de vecteurs U 1 , U 2 , … , U p est orthogonale si pour tout couple où et sont deux éléments distincts de { 1 , 2 , … , p } , les vecteurs et sont orthogonaux, c'est-à-dire tels que f ( U i , U j ) = 0 .
Une base orthogonale {u(1),…,u(k)} { u ( 1 ) , … , u ( k ) } de V est appelée base orthonormée si de plus u(i) est un vecteur unitaire (c'est-à-dire que ∥u(i)∥=1 ‖ u ( i ) ‖ = 1 ) pour chaque i=1,…,k.
On peut aussi donner un sens à deux parties orthogonales : A et B sont orthogonales si ⟨x,y⟩=0 ⟨ x , y ⟩ = 0 pour tout x∈A x ∈ A et tout y∈B y ∈ B . Pour X⊂E X ⊂ E , X⊥ est alors la plus grande partie de E orthogonale à X .
Proposition 25 – Une base de E est orthogonale pour la forme quadratique q si et seulement si la matrice de q dans cette base est diagonale. Démonstration : la matrice Q de q dans la base (e1,...,en) est définie par Qij = ϕ(ei,ej). Elle est donc diagonale si et seulement si ϕ(ei,ej)=0 pour i = j.
Deux vecteurs →u et →v de l'espace sont orthogonaux si et seulement si →u. →v=0. . Deux droites D et Δ de vecteurs directeurs respectifs →u et →v sont dites orthogonales lorsque →u et →v le sont.
Pour montrer qu'une droite (d) est orthogonale à un plan (P), il suffit de montrer qu'un vecteur directeur de (d) est colinéaire à un vecteur normal de (P). Et réciproquement : Si (d) est orthogonale à (P) alors : tout vecteur directeur de (d) est colinéaire à un vecteur normal de (P).
Corollaire 9 – Un endomorphisme f de E est orthogonal si et seulement si l'image par f d'une base orthonormale de E est une base orthonormale. Corollaire 10 – Un endomorphisme f de E est orthogonal si et seulement si sa matrice M dans une base orthonormale vérifie tMM = In. tM = M−1.
Dans un espace vectoriel euclidien, une famille (e1,…,ep) ( e 1 , … , e p ) est dite orthonormale (on dit aussi orthonormée) si elle est constituée de vecteurs unitaires (de norme 1) deux à deux orthogonaux.
Définition 4 Une famille F = { v1,..., vn} d'un espace vectoriel V sur un corps K est dite base de V lorsqu'elle est libre et génératrice. Par exemple la famille {(1, 1, 1), (1, 2, 3), (1, 2, 4)} est une base de R3.
Rappeler le cours. On rappelle que deux droites sont orthogonales si et seulement si leurs vecteurs directeurs sont orthogonaux, c'est-à-dire si le produit scalaire de ces deux vecteurs est nul.
Bien souvent, on définit une forme quadratique directement à partir des coordonnées dans une base. Elle s'écrit alors comme un polynôme homogène de degré 2. Par exemple, Q(x,y,z)=x2−3yz Q ( x , y , z ) = x 2 − 3 y z est une forme quadratique sur R3 .
Définition 4.1.7. a) Deux vecteurs sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul. b) Une base est orthonormée si et seulement si ses vecteurs sont de norme 1 et deux `a deux orthogonaux.
Déterminant des automorphismes orthogonaux Si f ∈ O(E), alors det(f) ∈ {−1,+1} . Comme det(f) ∈ R, les automorphismes orthogonaux se répartissent en deux sous-ensembles : 1. Les rotations, de déterminant +1, qui forment le groupe spécial orthogonal SO(E), sous-groupe de O(E).
Si F = E, f est appelée un endomorphisme. Pour montrer que f est une application linéaire, il suffit de vérifier que f(u + λv) = f(u) + λf(v) pour tous u, v ∈ E,λ ∈ K.
Les endomorphismes f et fa,b sont égaux sur une base donc égaux sur l'espace ℂ entier. fa,b(fa,b(z))=(a2+|b|2)z+2Re(a)bˉz. L'endomorphisme fa,b est donc une symétrie si, et seulement si, {a2+|b|2=12Re(a)b=0.
Solution détaillée. Les trois points A 1 , A 2 , A 3 sont alignés si et seulement si les vecteurs A 1 A 2 → et A 1 A 3 → sont colinéaires, donc si et seulement si le déterminant des vecteurs A 1 A 2 → , A 1 A 3 → , est nul.
Deux droites de l'espace sont perpendiculaires si et seulement si elles se coupent en formant un angle droit. Dans l'espace, des droites, non parallèles, peuvent ne pas se couper. Si une des droites est parallèle à une droite perpendiculaire à l'autre alors les deux droites sont dites orthogonales.
Le projeté orthogonal de M sur le plan P est le point H appartenant à P tel que (MH) P. Le point H est le point du plan P le plus proche de M. La longueur MH est appelée distance du point M au plan P. Si M ∈ P, alors M et H sont confondus, donc MH = 0.
L'orthogonal d'un sous-espace vectoriel engendré par une famille finie de vecteurs de est égal à l'orthogonal de cette famille : si F = V e c t ( { u 1 , u 2 , . . . , u p } ) alors F ⊥ = { u 1 , u 2 , . . . , u p } ⊥ .
Deux droites orthogonales ne sont pas nécessairement perpendiculaires, elles ne le sont que si elles sont coplanaires. Deux droites orthogonales à une même troisième ne sont pas nécessairement parallèles. Si deux droites sont parallèles, toute droite orthogonale à l'une est orthogonale à l'autre.
Le déterminant de u et v est le réel det(u ;v )=xy′−yx′. Propriété : Deux vecteurs sont colinéaires si, et seulement si, leur déterminant est nul. Le déterminant de u (−3 ;9) et v (1 ;−3) est det(u ;v )=(−3)×(−3)−9×1=0.
— Un espace euclidien est naturellement un espace vectoriel normé, c'est-à-dire qu'on a les propriétés suivantes, avec x = √q(x): 1. pour tout x ∈ E, x ≥ 0 et x = 0 seulement si x = 0; 2. pour tout x ∈ E et tout λ ∈ R, on a λx = |λ|·x; 3.
Pour une forme ϕ symétrique son noyau est défini par Ker ϕ = {x ∈ E : ∀y ∈ E,ϕ(x, y)=0}. Le noyau de ϕ est le noyau de (l'application linéaire définie par) la ma- trice de ϕ. On a: rang (ϕ) + dim (Ker ϕ) = dim (E). Lemme.