Pour démontrer qu'on ne peut pas prolonger une fonction f en un point a, on peut trouver deux suites (un) et (vn) qui tendent vers a telles que (f(un)) ( f ( u n ) ) et (f(vn)) ( f ( v n ) ) admettent des limites différentes (voir cet exercice).
Autrement dit, on voit graphiquement qu'une fonction est continue en un point x0 si la courbe passe par le point M0(x0 ; ƒ(x0)) sans coupure. Sinon, la fonction est discontinue en ce point.
Ainsi, il suffit de dire que en dehors de ces réels 0 et 1 (c'est à dire en tout réel distinct de 0 et de 1) la fonction est bien continue (car ce sont des fonctions "usuelles"). Ensuite, il suffit de savoir si en 0, à gauche, la fonction admet une limite et si c'est la même que celle en 0, à droite (si elle existe).
Lorsque a ∈ Z, on a si x → a+, f(x) → a = f(a) et si x → a−, f(x) = a − 1+(a − (a − 1))2 = a = f(a). Donc f est continue sur R.
Théorème Soit f une fonction définie sur un intervalle I et a ∈ I. Si f est dérivable en a Alors f est continue en a. f(x) = f(a), et donc que f est donc continue en a.
Il s'agit en fait d'une propriété générale : une fonction n'est pas dérivable aux points où elle n'est pas continue.
La dérivée k-i`eme se note f(k) et on a f(k) = (f(k−1)) . On dit que f est indéfiniment dérivable si f est k-dérivable pour tout k. On dit que f est de classe Ck si f(k) existe et est continue.
Une fonction réelle d'une variable réelle est dérivable en un point a quand elle admet une dérivée finie en a, c'est-à-dire, intuitivement, quand elle peut être approchée de manière assez fine par une fonction affine au voisinage de a.
On détermine la limite d'une fonction définie par morceaux à la frontière entre les deux morceaux. Ici les limites à droite et à gauche ne sont pas égales, et donc la limite cherchée n'existe pas.
Notion de continuité
On dit qu'une fonction f est continue en a si lim(x→a) f(x)= f(a). On dit qu'une fonction f est continue sur un intervalle I si pour tout x_0∈I lim(x→x0)f(x) = f(x0). Une fonction continue est une fonction que l'on peut dessiner « sans lever le crayon ».
Se dit d'une fonction qui a une dérivée. (On distingue, selon les cas, les fonctions dérivables à droite ou à gauche, dérivables sur un intervalle ouvert ou fermé, dérivables n fois ou indéfiniment dérivables.)
La fonction valeur absolue prenant deux valeurs différentes suivant les valeurs de x, sa dérivée fera de même. Si x < 0, sa dérivée vaut −1. Si x > 0, sa dérivée vaut 1. La fonction valeur absolue n'est pas dérivable en 0.
Soit f : [a, b] → R une fonction. (1) Soit x0 ∈]a, b[. Alors f est dérivable en x0 si et seulement si f est dérivable `a droite et `a gauche en x0 et fg(x0) = fd(x0). (2) f est dérivable en a si et seulement si f est dérivable `a droite en a.
si la dérivée n-i`eme, notée f(n), est continue, alors on dit que f est de classe Cn. (5) Si f est de classe Cn pour tout n ∈ N, alors f est infiniment dérivable, on dit que f est de classe C∞.
Exemple. Soit f une fonction de la variable réelle x définie par f ( x ) = 8 x + 32 . La fonction est définie pour tous les x tels que est positif ou nul et seulement pour ceux-ci. La quantité est positive ou nulle si et seulement si 8 x est supérieur ou égal à − 32 .
La fonction valeur absolue est continue en 0, mais elle n'est pas dérivable en 0. Soit f une fonction continue sur un intervalle I. Si a et b sont deux réels de I et si k est un réel compris entre f(a) et f(b), alors il existe au moins un réel x compris entre a et b tel que f(x) = k.
Oui. Si on note f la fonction RAC. On a lim(f) =f(0) quand x → 0. Mais f n'est pas dérivable en 0 car f '(x) = 1 / (2RAC(x)) n'est pas définie en 0 (tangente verticale).
Sommaire. On peut déterminer graphiquement la valeur de la dérivée d'une fonction f en un réel a, en utilisant la tangente à la courbe représentative de f au point d'abscisse a. On considère la fonction f, dont la courbe représentative C_f est donnée ci-dessous. T_0 est la tangente à C_f au point d'abscisse 0.
Si f admet une limite finie en x0, notée l, on dit que f est prolongeable par continuité en x0 par la fonction: f : Df ∪ {x0} → R x ↦→ ∣ ∣ ∣ ∣ f(x) si x = x0 , l si x = x0 . La fonction f s'appelle le prolongement par continuité de f.
Si f est une fonction qui va de [a,b] dans R et si x0∈[a,b], x 0 ∈ [ a , b ] , le taux d'accroissement de f en x0 est la fonction définie, là où c'est possible, par Tx0(h)=f(x0+h)−f(x0)h. T x 0 ( h ) = f ( x 0 + h ) − f ( x 0 ) h .
On montre que si une fonction est dérivable en un point, elle est également continue en ce point.
0 donne le même résultat dans les deux cas : la valeur absolue de 0 est 0. Or, donc et donc . Par ailleurs, est la somme de deux réels positifs, et est positif. La notion de distance permet de résoudre des équations et inéquations avec des valeurs absolues.
La valeur absolue est celle que le chiffre a par lui-même, et la valeur relative est celle que lui donne le rang qu'il occupe.
L'ensemble de définition de toutes les fonctions de valeur absolue qui sont sous la forme 𝑓 ( 𝑥 ) = | 𝑚 𝑥 + 𝑏 | est l'ensemble des nombres réels, ou ℝ , alors que l'ensemble image est 𝑓 ( 𝑥 ) ⩾ 0 , ou [ 0 ; + ∞ [ .