Une matrice réelle A est orthogonale si et seulement si elle est inversible et son inverse est égale à sa transposée : A−1 = tA. Une matrice carrée est orthogonale si et seulement si ses vecteurs colonnes sont orthogonaux deux à deux et de norme 1. Ainsi une matrice orthogonale représente une base orthonormée.
Une base est orthogonale relativement à une forme bilinéaire symétrique si et seulement si la matrice associée à par rapport à cette base est une matrice diagonale, les termes de la diagonale principale pouvant être nuls ou non.
Former la matrice dans la base canonique de la projection orthogonale sur P. On considère un espace vectoriel euclidien E muni d'une base orthonormée ℬ=(i,j,k). Former la matrice dans ℬ de la projection orthogonale sur le plan P d'équation x+y+z=0. Soit n=i+j+k un vecteur normal à P.
Un endomorphisme f de E est dit orthogonal si, et seulement si, il conserve le produit scalaire, c'est-`a-dire si, et seulement si ∀x,y ∈ E, (f (x)|f (y)) = (x |y). Soit E un espace vectoriel euclidien.
Définition 1 : Une matrice A ∈ Mn(R) est dîte inversibles'il existe une matrice B ∈ Mn(R) telle que : AB = In et BA = In Si B existe, elle est appelée inverse de A et notée A−1.
La matrice (de taille n × p) dont tous les coefficients sont des zéros est appelée la matrice nulle et est notée 0n,p ou plus simplement 0.
Méthode n°2 : Une matrice A est inversible si et seulement si la famille formée par ses vecteurs colonnes est libre. Autrement dit, si vous remarquez une combinaison linéaire entre les vecteurs colonnes de la matrice A, alors cette famille est liée, donc elle n'est pas libre, donc A n'est pas inversible.
Un vecteur normal à une droite d est orthogonal à tous les vecteurs directeurs de d. B. (a ; b) admet une équation cartésienne de la forme ax + by + c = 0. Soit A(xA ; yA) un point de la droite d et M(x ; y) un point quelconque.
En fait, une matrice orthognale est diagonalisable en tant qu'élément de Mn(C). En voici une justification brutale : une matrice orthogonale est la matrice d'un automorphisme orthogonal de Rn muni de sa structure euclidienne canonique.
Deux droites sont orthogonales si leurs parallèles respectives passant par un même point sont perpendiculaires. Si une droite (d) est orthogonale à deux droites sécantes du plan P, alors elle est orthogonale au plan P.
En résumé, une famille (vi)i∈I est orthonormale si ∀i, j ∈ I ⟨vi, vj⟩ = δi,j. Toute famille orthogonale formée de vecteurs non nuls est libre. Une famille orthonormale est donc libre. Elle est appelée base orthonormale de E si elle est de plus génératrice de E, autrement dit si c'est une base de E.
Deux vecteurs non nuls sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul. Graphiquement, leurs directions sont orthogonales. Ainsi, deux droites sont orthogonales si et seulement si le produit de leurs vecteurs directeurs est nul. Soit un vecteur −−→CD.
Une famille de vecteurs U 1 , U 2 , … , U p est orthogonale si pour tout couple où et sont deux éléments distincts de { 1 , 2 , … , p } , les vecteurs et sont orthogonaux, c'est-à-dire tels que f ( U i , U j ) = 0 .
Dans un triangle quelconque, le carré de la longueur opposée à un angle est égale à la somme des carrés des deux autres côtés moins le double du produit de ces mêmes côtés et du cosinus de l'angle.
Une matrice A est diagonalisable si et seulement si la somme des dimensions des sous-espaces propres est égale à l'ordre de la matrice. 2. Si une matrice carrée A d'ordre n admet n valeurs propres différentes, alors A est diagonalisable.
Soit A ∈ Mn(R). Alors A est une matrice symétrique ssi ∀X,Y ∈ Mn,1(R): < AX,Y >=< X,AY >. Il existe donc une base orthonormée de vecteurs propres de f dans laquelle la matrice de f est diagonale. Il existe donc une matrice orthogonale P telle que P−1AP est diagonale.
Une condition (nécessaire et) suffisante pour qu'un ensemble de matrices diagonalisables soit simultanément diagonalisable est que toutes les matrices de l'ensemble commutent deux à deux.
Deux vecteurs u et v sont dits orthogonaux (et on note u ⊥ v) si < u,v >= 0. Intuitivement, deux vecteurs sont orthogonaux s'ils forment un angle droit (voir figure 1.1).
Dans l'espace, on dit que deux droites sont orthogonales si elles sont chacune parallèles à des droites se coupant en angle droit. On emploie plutôt le terme de perpendiculaires pour deux droites orthogonales et sécantes.
Une matrice réelle dont toutes les colonnes sont orthogonales deux à deux est inversible si et seulement si elle n'a aucune colonne nulle. Un produit de deux matrices carrées est inversible si et seulement si les deux matrices en facteur le sont aussi.
Le déterminant d'une matrice diagonale ou triangulaire (supérieure ou inférieure) est égal au produit des termes de la diagonale principale. Comme pour les déterminants d'ordre 2, la valeur du déterminant est égale au produit des termes de la diagonale principale.
Pour déterminer/trouver les valeurs propres d'une matrice, calculer les racines de son polynôme caractéristique. Exemple : La matrice 2x2 (d'ordre 2) M=[1243] M = [ 1 2 4 3 ] a pour polynôme caractéristique P(M)=x2−4x−5=(x+1)(x−5) P ( M ) = x 2 − 4 x − 5 = ( x + 1 ) ( x − 5 ) .
Le produit de deux matrices n'est défini que si le nombre de colonnes de la deuxième matrice est égal au nombre de lignes de la première et le produit d'une matrice (n,m) par une matrice (m,p) est une matrice (n,p).