Loi de Poisson. La loi de Poisson est une loi de probabilité discrète. Elle décrit la probabilité qu'un événement se réalise durant un intervalle de temps donné, lorsque la probabilité de réalisation d'un événement est très faible et que le nombre d'essais est très grand.
Une distribution normale est définie par deux paramètres (la moyenne mu, et la variance sigma2), alors qu'une loi de Poisson est définie par un seul paramètre lambda, qui correspond au nombre d'occurrences prévues d'un événement pendant la période d'observation donnée.
La loi de Poisson est aussi appelé la LOI des évenements rares. La loi de Poisson se définit par une formule assez compliquée. E[X] = λ σ (X) = √ λ. C'est la seule LOI connue qui ait toujours son espérance égale à sa variance.
En résumé, pour justifier que X suit une loi binomiale, il suffit de dire que : on répète des épreuves identiques et indépendantes. chaque épreuve comporte deux issues (Succès ou Echec). X compte le nombre de succès à la fin de la répétition des épreuves.
Approximation d'une loi binomiale par une loi de Poisson
Lorsque n prend de grandes valeurs, et que p est petit, la loi binomiale B(n , p) est approchée par la loi de Poisson P(np) (conservation de la moyenne). Les conditions d'approximation sont n ≥ 30, p ≤ 0,1 et n p < 15.
La loi de Poisson a été introduite en 1838 par Denis Poisson (1781–1840), dans son ouvrage Recherches sur la probabilité des jugements en matière criminelle et en matière civile.
La loi binomiale est utilisée dans divers domaines d'étude, notamment à travers des tests statistiques qui permettent d'interpréter des données et de prendre des décisions dans des situations dépendant de l'aléa.
Identifier un schéma de Bernoulli
On identifie une expérience à deux issues possibles : Le succès, obtenu avec une probabilité p que l'on détermine. L'échec, obtenu avec la probabilité q = 1 -p.
Une loi est uniforme entre une valeur a et une valeur b lorsque la densité de probabilité est toujours égale sur cet intervalle et nulle en-dehors.
La probabilité que le candidat réponde correctement à au plus 2 questions est d'environ 53 %. Dans cet exercice, les probabilités seront arrondies au centième. Dans un lycée, la probabilité qu'un élève rencontré au hasard fasse du sport dans une association est de 32 %.
Loi de Poisson Table. Tableau 1: la probabilité qu'il se produise exactement 10 fois dans l'année est égale à 0,125 =12,5%. Tableau 1: la probabilité qu'il se produise exactement 9, 10 ou 11 fois est égale à: 0,125 + 0,125 + 0,114 = 0,394 40%.
Elle peut être utilisée dans un grand nombre de situations, c'est ce qui la rend si utile. Lorsqu'un phénomène est influencé par de nombreux facteurs dont aucun n'est prépondérant les résultats des mesures de ce phénomène obéissent à une loi normale.
On considère une variable aléatoire discrète X. Déterminer la loi de probabilité de X, c'est : lister l'ensemble des valeurs xi prises par X. associer à chacune de ces valeurs une probabilité (celle de l'évènement X=xi).
Le test de Shapiro-Wilk (W) est utilisé pour tester la normalité. Si la statistique W est significative, il faut alors rejeter l'hypothèse selon laquelle la distribution correspondante est normale.
Les méthodes non paramétriques sont utiles lorsque l'hypothèse de normalité ne tient pas et que l'effectif d'échantillon est faible. Cela dit, dans les tests non paramétriques, vos données reposent également sur des hypothèses.
Les tests paramétriques
s'utilisent lorsque les données sont 'distribuées', donc elles suivent la forme d'une courbe. Par exemple, lorsque la distribution des données est normale.
Un domaine privilégié de la loi exponentielle est le domaine de la radioactivité (Rutherford et Soddy). Chaque atome radioactif possède une durée de vie qui suit une loi exponentielle. Le paramètre λ s'appelle alors la constante de désintégration. s'appelle le temps caractéristique.
Calcul de la Moyenne et de la Variance
Nous allons montrer que la moyenne d'une variable qui suit une loi normale est égale à μ, et que sa variance est égale à σ² .
Si l'épreuve est répétée n fois dans les conditions du schéma de Bernoulli, c'est-à-dire que les épreuves sont identiques et indépendantes, alors la probabilité d'obtenir k succès est : La loi de probabilité de la variable aléatoire X égale au nombre de succès est appelée la loi binomiale de paramètres n et p.
De façon générale, la loi géométrique apparaît lorsque l'on répète une même expérience, de façon indépendante, et que l'on attend qu'un événement se réalise le nombre de fois où un événement se réalise. Précisément, on considère le numéro de l'expérience à laquelle survient le premier succès.
En pratique, pour calculer une probabilité avec une loi binomiale, On repère bien les valeurs de n, p et k. On écrit la formule P(X=k)=(nk)×pk×(1−p)n−k avec les valeurs précédentes. On utilise la calculatrice.
L'espérance d'une variable aléatoire E(X) correspond à la moyenne des valeurs possibles de X pondérées par les probabilités associées à ces valeurs. C'est un paramètre de position qui correspond au moment d'ordre 1 de la variable aléatoire X. C'est l'équivalent de la moyenne arithmétique ˉX.
En théorie, c'est la loi hypergéométrique qui devrait être utilisée dans la plupart des situations concrètes. Par exemple, si l'on effectue un contrôle de qualité sur une tonne de patates, on ne remet pas dans le tas une patate qui vient d'être contrôlée avant d'en tirer au sort une deuxième…
Le coefficient binomial, dit "k parmi n" ou "combinaison de k parmi n" pour n, un entier naturel et k entier naturel inférieur ou égal à n, est le nombre de sous-ensembles de k éléments dans un ensemble de n éléments. Le coefficient binomial est noté, (nk)=Ckn=n!k! (n−k)!