Nous avons bien affaire à un produit nul : (x + 5) × (2x – 3) est égal à zéro. Ainsi, cela signifie que soit x + 5 = 0, soit 2x – 3 = 0. Donc plutôt que de résoudre l'équation (x + 5) × (2x – 3) = 0 en une fois, on peut la décomposer en deux équations très simples : x + 5 = 0 et.
Pour résoudre une équation produit nul, on écrit A×B=0⇔A=0ouB=0. On résout ensuite chacune des équations A=0 et B=0 séparément. Les solutions obtenues en résolvant ces deux équations sont celles de l'équation initiale.
Méthode de résolution d'équations
1) On regroupe les termes en « x » dans un même membre et on réduit. 2) On regroupe les termes « sans x » dans l'autre membre et on réduit. 3) On résout.
4x² = 5x 4x² - 5x = 0 On a mis tous les termes dans le 1er membre x(4x - 5) = 0 On a factorisé le 1er membre, Si un produit est nul, alors l'un au moins des facteurs est nul.
Pour résoudre, il faut 'isoler' le x (nom choisi ici pour l'inconnue) en se 'débarrassant' de ce qui l'entoure. 2x + 8 - 8 = 5 - 8 -----> Pour cela on soustrait 8 aux deux membres, ainsi à gauche il n'y a plus de + 8 (cela s'annule) et à droite apparaît le terme - 8.
Pour qu'un produit de facteurs soit égal à 0 il faut et il suffit que l'un de ses facteurs soit égal à 0. Cette propriété permet de résoudre les équations équivalentes à un produit égal à 0. L'équation (2x + 3)(x – 5) a donc deux solutions : −3 2 et 5.
Règle du produit nul Un produit est nul signifie que l'un des facteurs au moins est nul. A×B=0 signifie que l'un des facteurs au moins est nul c'est à dire A=0 ou B=0.
Il est impossible de multiplier n'importe quels nombres (non nuls) entre eux pour obtenir zéro comme résultat ! soit a = 0 ; soit b = 0 ; soit a = 0 et b = 0.
Loi du reste
P(a)=(a−a)⋅Q(a)+R=R. On a donc le résultat suivant : Proposition - Le reste de la division d'un polynôme par (x−a) est égal à la valeur numérique de ce polynôme en x=a, où a∈R.
Ainsi, les zéros de la fonction sont les solutions de l'équation ( ? + 2 ) ( ? + 3 ) = 0 . Nous pouvons résoudre ces deux équations séparément pour obtenir ? = − 2 et ? = − 3 comme étant les zéros de la fonction.
Si un polynôme P de degré 3 admet une racine réelle α , alors ce polynôme est factorisable par (x −α). on a alors : P(x) = (x −α)×Q(x) où Q(x) est un polynôme de degré 2. Utilisation : Le polynôme P(x) = x3 −4x2 −7x +10 admet comme racine évidente le nombre 1.
Isoler l'inconnue dans un des deux membres (voir propriété des égalités). Isoler tous les nombres dans l'autre membre (voir propriété des égalités). Diviser chaque membre par le coefficient de l'inconnue (voir propriété des égalités). Conclure.
Propriété Si l'un au moins des facteurs est nul alors le produit est nul. Réciproquement si un produit de facteur est nul alors l'un au moins des facteurs est nul. Si A x B = 0 alors A = 0 ou B = 0.
Si on multiplie chaque membre d'une équation par un même nombre, l'égalité reste vraie. Le membre de gauche est divisé par 2. Il faut donc le multiplier par 2 pour faire disparaître le 2 qui est sous la barre de fraction. Et pour maintenir l'égalité, il faut en même temps multiplier par 2 le côté droit du signe égal.
Pour pouvoir résoudre une telle équation, il faut tout d'abord calculer le discriminant Δ. On le calcule. Ensuite, selon le résultat, on va pouvoir connaître le nombre de solutions qu'il y a, et les trouver s'il y en a. Si Δ < 0 , rien de plus simple : il n'y a pas de solution.
Les entiers positifs (supérieurs à zéro) s'identifient aux entiers naturels : 0, 1, 2, 3… tandis que les entiers négatifs sont leur opposés : 0, −1, −2, −3… L'entier zéro lui-même est donc le seul nombre à la fois positif et négatif[2].
En tant que nombre, zéro est un objet mathématique permettant d'exprimer une absence comme une quantité nulle : c'est le nombre d'éléments de l'ensemble vide. Il est le plus petit des entiers positifs ou nuls.
Un nombre négatif est un nombre réel inférieur ou égal à 0 : donc 0 ; et par exemple -1, -2... Les nombres négatifs non nuls sont représentés avec un signe - placé à gauche. Le nombre zéro est à la fois positif et négatif. La somme de deux réels négatifs est un réel négatif.
a) 3x-4 < 0 est une inéquation du 1er degré en x ; b) 3x²-2x > x+2 est une inéquation du 2nd degré en x ; c) 4y+2 > 3y est une inéquation du 1er degré en y. Résoudre une inéquation, c'est trouver toutes les valeurs de l'inconnue pour lesquelles l'inéquation sera vérifiée.
n2+1≥n2, c'est-à-dire à 1≥0. Comme 1 est toujours supérieur ou égal à 0, cette inégalité est vraie donc l'inégalité initiale est vraie aussi. Ceci justifie une deuxième fois l'intérêt de préciser le lien entre différentes lignes : ici, elles sont équivalentes, ce qui permet de déduire le résultat.
On place les valeurs pour lesquelles f change de sens de variation dans la première ligne du tableau de variations. On trace une flèche qui monte dans la deuxième ligne du tableau lorsque f est croissante et une flèche qui descend lorsque f est décroissante.