Par exemple, ∫ 0 1 1 x d x = lim a → 0 + ∫ a 1 1 x d x . Si l'aire sous la courbe du domaine illimité est finie, alors l'intégrale impropre correspondante est dite convergente.
On dit que l'intégrale ∫baf ∫ a b f est convergente si, pour un (ou de façon équivalente pour tout) c∈]a,b[ c ∈ ] a , b [ , la fonction x↦∫xcf(t)dt x ↦ ∫ c x f ( t ) d t admet une limite finie lorsque x tend vers b et la fonction x↦∫cxf(t)dt x ↦ ∫ x c f ( t ) d t admet une limite finie lorsque x tend vers a .
Étude d'une intégrale semi-convergente
On commence par remarquer que quand x tend vers , on a : lim x → 0 sin x x = 1 . La fonction se prolonge en une fonction continue en . Il n'y a pas de problème de convergence en .
Une intégrale impropre est convergente si sa valeur est finie, dans le cas contraire elle est divergente.
On dit que f est intégrable sur I ou que ∫If ∫ I f est absolument convergente si ∫I|f| ∫ I | f | converge. Théorème : Si f est intégrable sur I , alors ∫If(t)dt ∫ I f ( t ) d t converge. Si ∫If(t)dt ∫ I f ( t ) d t converge sans que f ne soit intégrable sur I , alors on parle d'intégrale semi-convergente.
Si f est continue partout dans l'intervalle y compris ses extrémités qui sont finies , alors f sera intégrable. Une fonction est continue en x si ses valeurs suffisamment proches de x sont aussi proches que vous le souhaitez les unes des autres et de sa valeur en x.
Théorème (théorème fondamental du calcul intégral) : Si f est une fonction continue et positive sur [a,b] , alors la fonction F définie sur [a,b] par F(x)=∫xaf(t)dt F ( x ) = ∫ a x f ( t ) d t est dérivable sur [a,b] , et a pour dérivée f .
Par exemple, ∫ 0 1 1 x d x = lim a → 0 + ∫ a 1 1 x d x . Si l'aire sous la courbe du domaine illimité est finie, alors l'intégrale impropre correspondante est dite convergente. Si cette aire est infinie, elle est dite divergente.
Mais c'est le problème de l'exemple 1, et nous savons donc que la convergence se produit lorsque p > 1 et la divergence se produit lorsque 0 < p ≤ 1. Il est possible d'évaluer directement une intégrale impropre.
Les intégrales sont un type de limite et, comme toute limite, elles peuvent converger ou diverger . L'intégrale peut diverger car le domaine d'intégration est illimité et la fonction ne se dégrade pas assez vite. Une intégrale peut également diverger sur un domaine borné si la fonction croît trop rapidement vers une asymptote.
Une suite est convergente si elle tend vers un nombre fini ; une suite est divergente si elle tend vers l'infini ou si elle n'a pas de limite. Une suite (un) est convergente vers un nombre réel l si, pour tout intervalle I centré en l, il existe un rang p, à partir duquel les termes de cette suite appartiennent à I.
On veut pouvoir dire que la suite de fonctions (fn) converge vers f lorsque la courbe représentative de la fonction fn se rapproche, quand n tend vers l'infini, de celle de f.
Toute fonction en escalier est bornée car elle ne prend qu'un nombre fini de valeurs. Si f est réglée, il existe ϕ en escalier telle que, pour tout x ∈ [a, b], |f(x) − ϕ(x)| ≤ 1, et donc |f(x)|≤|ϕ(x)| + 1, ce qui prouve que f est bornée.
On parlera d'intégrale généralisée ou bien d'intégrale impropre. f(x)dx . Si l'intégrale n'est pas convergente, on dira qu'elle est divergente. Ce statut est appelé nature de l'intégrale.
"Une intégrale impropre est une intégrale définie qui a l'une ou les deux limites infinies ou un intégrande qui se rapproche de l'infini en un ou plusieurs points de la plage d'intégration ."
Si la lentille est convergente, l'image est grossie (grossissement>1), et lorsqu'on déplace la lentille dans un sens, l'image défile dans l'autre sens. Si la lentille est divergente, l'image est rétrécie (grossissement<1), et défile dans le même sens que le déplacement de la lentille.
La convergence signifie que deux moyennes mobiles se rejoignent, tandis que la divergence signifie qu'elles s'éloignent l'une de l'autre.
Intégrale et primitives
L'intégrale de la fonction nulle est nulle sur tout intervalle inclus dans l'ensemble des réels ; les primitives de la fonction nulle (sur ℝ) sont donc les fonctions constantes.
On retiendra qu'une intégrale peut être positive ou négative mais qu'une aire, elle, est toujours positive.
Une fonction f:I→R f : I → R est donc dérivable en a si et seulement s'il existe α∈R α ∈ R et une fonction ε définie dans un intervalle J ouvert contenant 0 , vérifiant limh→0ε(h)=0 lim h → 0 ε ( h ) = 0 tels que ∀h∈J, f(a+h)=f(a)+αh+hε(h).
Propriété de positivité
En d'autre termes, l'intégrale d'une fonction positive sur un intervalle est positive, ce qui est logique dans la mesure où elle s'interprète comme une aire (voir le début du cours).
Si la fonction f est impaire, sa courbe représentative est symétrique par rapport à l'origine. L'intégrale entre a et -a est nulle car l'aire comprise entre -a et 0 aura un signe moins alors que celle entre 0 et a aura la même valeur mais avec un signe +.
Une fonction bornée f:[a,b]→R est intégrable par Riemann si et seulement si ∀ϵ>0,∃Qtel queU(Q,f)−L(Q,f)<ϵ . Preuve. Si f est intégrable par Riemann, alors pour tout ϵ>0 il existe P1,P2 tel que U(P2,f)−∫fdx<ϵ/2 et ∫fdx−L(P1,f)<ϵ/2.
Les exemples les plus simples de fonctions non intégrables sont : dans l'intervalle [0, b] ; et dans tout intervalle contenant 0. Ceux-ci ne sont intrinsèquement pas intégrables, car la zone que représenterait leur intégrale est infinie . Il y en a d'autres également, pour lesquels l'intégrabilité échoue parce que l'intégrande saute trop.
Oui : elle est bornée car continue sur un segment, donc la valeur absolue de la fonction admet une intégrale finie.