Imaginons que l'on note C la matrice A x B : C = A x B. Le coefficient ci,j de la matrice C sera calculé en multipliant le ième ligne de la matrice de gauche avec la jème colonne de la matrice de droite. On multiplie tout simplement terme à terme chaque coefficient de la ligne et de la colonne.
Pour que le produit de deux matrices soit défini, il faut que le nombre de colonnes de la première matrice soit égal au nombre de lignes de la deuxième.
Multiplication de matrices
Le produit d'une matrice A par une matrice B est possible si et seulement si le nombre de colonnes de la matrice A est égal au nombre de lignes de la matrice B .
Méthode n°2 : Une matrice A est inversible si et seulement si la famille formée par ses vecteurs colonnes est libre. Autrement dit, si vous remarquez une combinaison linéaire entre les vecteurs colonnes de la matrice A, alors cette famille est liée, donc elle n'est pas libre, donc A n'est pas inversible.
Un intérêt principal des matrices est qu'elles permettent d'écrire commodément les opérations habituelles de l'algèbre linéaire, avec une certaine canonicité.
Ce fut James Sylvester qui utilisa pour la première fois le terme « matrice » en 1850, pour désigner un tableau de nombres. En 1855, Arthur Cayley introduisit la matrice comme représentation d'une transformation linéaire.
Aujourd'hui, les matrices sont souvent utilisées dans des domaines tels que l'administration, la psychologie, la génétique, les statistiques et l'économie. Avant d'étudier les opérations associées aux matrices, débutons par l'identification et la définition des termes associés aux matrices.
1. Une matrice A est diagonalisable si et seulement si la somme des dimensions des sous-espaces propres est égale à l'ordre de la matrice. 2. Si une matrice carrée A d'ordre n admet n valeurs propres différentes, alors A est diagonalisable.
La matrice M est diagonalisable si et seulement si la somme des multiplicités géométriques est égale à la taille de M. Or chaque multiplicité géométrique est toujours inférieure ou égale à la multiplicité algébrique correspondante.
Additionnez les trois cofacteurs.
Trois cofacteurs, un pour chaque coefficient d'une seule ligne (ou colonne), que vous additionnez et vous aurez le déterminant de la matrice 3 x 3. Pour notre exemple, cela donne : (-34) + (120) + (-12) = 74.
On dit qu'une matrice carrée A est nilpotente s'il existe un entier naturel p tel que la matrice Ap soit nulle. L'indice de nilpotence est alors le plus petit p. et 0 l'endomorphisme nul.
il y a des diviseurs de O: si un produit de deux matrices est nul (toutes les composantes sont nulles) il peut arriver qu'aucune des deux matrices ne soit nulle.
Il suffit de rentrer chaque matrice de façon "naturelle" élément par élément, séparé d'un espace en effectuant un saut de ligne à chaque fin de ligne de la matrice. Vous pouvez entrer des entiers relatifs et des fractions de la forme -3/4 par exemple.
Si A a autant de colonnes que B de lignes et B autant de colonnes que C de lignes, alors les deux produits (AB)C et A(BC) sont bien définis et égaux. On les écrit tous les deux ABC. Et ça se prouve ! C2 = (A+B)(A+B) = A(A+B)+B(A+B) = A2 +AB +BA+B2 C2 = (A+B)(A+B)=(A+B)A+(A+B)B = A2 +BA+AB+B2.
Soit λ ∈ Cl valeur propre de A et x un vecteur propre associé, alors Ax = λx, et comme · est une norme induite, on a : λx = |λ|x = Ax ≤A x. On en déduit que toute valeur propre λ vérifie λ ≤ A et donc ρ(A) ≤ A.
x C = A x C + B x C c) (kA)B = A(kB) = k(A x B) Définition : Soit A une matrice carrée et n un entier naturel. Le carré de A est la matrice, noté A2, égale à A x A. Le cube de A est la matrice, noté A3, égale à A x A x A.
Une matrice scalaire est une matrice diagonale (à coefficients dans un anneau) dont tous les coefficients diagonaux sont égaux, c'est-à-dire de la forme λIn où λ est un scalaire et In la matrice identité d'ordre n.
La matrice carrée nulle est non-inversible et diagonalisable. Elle est même diagonale. En revanche une matrice carrée est inversible si et seulement si elle n'admet pas 0 pour valeur propre.
Pour déterminer/trouver les valeurs propres d'une matrice, calculer les racines de son polynôme caractéristique. Exemple : La matrice 2x2 (d'ordre 2) M=[1243] M = [ 1 2 4 3 ] a pour polynôme caractéristique P(M)=x2−4x−5=(x+1)(x−5) P ( M ) = x 2 − 4 x − 5 = ( x + 1 ) ( x − 5 ) .
La similitude est une relation d'équivalence. Deux matrices sont semblables si et seulement si elles représentent le même endomorphisme d'un espace vectoriel dans deux bases (éventuellement) différentes.
La diagonalisation d'un endomorphisme permet un calcul rapide et simple de ses puissances et de son exponentielle, ce qui permet d'exprimer numériquement certains systèmes dynamiques linéaires, obtenus par itération ou par des équations différentielles.
Matrice diagonale
La diagonale principale d'une matrice carrée (ou d'un tableau carré de nombres) est l'ensemble des éléments dont l'indice de ligne et l'indice de colonne sont égaux. Une matrice est diagonale si tous les termes en dehors de sa diagonale principale dont nuls.
La matrice (ou l'utérus) est un organe du système reproducteur de la femelle des mammifères. La matrice est un tissu dans lequel sont incorporées des structures plus spécialisées. La matrice de l'ongle est la structure située à sa base, qui permet sa croissance.
Re : ordre d'une matrice
L'ordre d'une matrice est l'autre dénomination de la taille d'une matrice. Une matrice à M lignes et N colonnes est dites d'ordre MxN mais attention, il ne faut pas effectuer la multiplication. Exemple : une matrice avec 2 lignes et 3 colonnes sera dite d'ordre 2x3.