Étudier le signe du discriminant Δ. Si Δ < 0, alors cette équation n'admet pas de solutions réelles. Si Δ = 0, alors cette équation admet une solution unique .
Si ƒ est continue et strictement monotone sur un intervalle [a ; b], alors pour tout nombre k compris entre ƒ(a) et ƒ(b), alors l'équation ƒ(x) = k admet une unique solution dans [a ; b]. Pour localiser cette solution, on pourra utiliser sa calculatrice.
S'il existe une ligne du type 0=b′i 0 = b i ′ avec b′i non nul, alors le système n'admet pas de solutions.
Exemple : 3 est-il une solution de l'équation 2x2 – 5 = x + 10 ? On constate que, pour x = 3, 2x2 – 5 = x + 10. Il y a égalité entre les deux membres donc 3 est une solution de l'équation 2x2 – 5 = x + 10. Une égalité reste vraie en ajoutant ou en soustrayant un même nombre à ses deux membres.
Équation qui n'admet aucune solution dans son ensemble de définition.
L'hypothèse de Riemann, un problème irrésolu
Les énigmes de maths passionnent les gens depuis des générations ! Ce problème est considéré par de nombreux mathématiciens comme l'un des plus difficiles de tous les temps. Et en effet, l'hypothèse de Riemann n'a jamais été résolue !
Appellé «le dernier théorème de Fermat», cette équation avait été posé en 1637 par le mathématicien français Pierre Fermat. Il l'avait formulée ainsi : «il n'existe pas de nombres entiers non nuls x, y et z tels que : xn + yn = zn, dès que n est un entier strictement supérieur à 2».
Si Δ est strictement positif, alors il y a deux solutions réelles à l'équation du second degré. Si Δ = 0 , alors il y a une solution réelle (répétée). Et si Δ est strictement négatif, alors il n'y a pas de solutions réelles.
Si les droites sont parallèles entre elles, on aura plutôt une infinité de solution si elles sont confondues, ou l'absence de solution si elles sont disjointes. On peut résoudre un système d'équations linéaires de plusieurs façons.
Résoudre graphiquement une inéquation du type f(x) < k, revient à déterminer les abscisses des points de la courbe situés au dessous de la droite horizontale d'équation y = k. f(x) > k déterminer les abscisses des points de Cf situés au dessus de la droite horizontale y = k.
Pour résoudre une équation du second degré de la forme ax^2+bx+c=0, on détermine les éventuelles racines du trinôme. Le nombre appelé discriminant du trinôme est particulièrement utile dans la recherche des solutions d'une équation du second degré.
1.1.
Cette équation s'appelle équation linéaire dans les variables (ou inconnues) x et y. Par exemple, 2x + 3y = 6 est une équation linéaire, alors que les équations suivantes ne sont pas des équations linéaires : 2x + y2 = 1 ou y = sin(x) ou x = y.
Équation non linéaire,
équation de la forme f (x) = 0 lorsque f (x) n'est pas de la forme ax + b. (Cette notion s'étend aux équations et systèmes d'équations non linéaires à plusieurs inconnues.)
Si la fonction f ( x , y ) admet des dérivées partielles (par rapport à et ) qui sont continues, et si l'on se fixe des réels et , il existe une solution et une seule de l'équation y ′ = f ( x , y ) , définie sur un intervalle contenant , qui vérifie u ( x 0 ) = y 0 .
Une équation de droite se présente sous la forme : y = ax + b avec a le coefficient directeur et b l'ordonnée à l'origine. Ici b = 0, car la droite coupe l'axe des ordonnées au point 0. Pour déterminer a, il suffit de se placer sur le point correspondant à l'ordonnée à l'origine (b).
L'équation f(x)=0 n'a pas de solution donc la courbe de f ne traverse pas l'axe des abscisses. L'équation f(x)=0 a une solution unique donc la courbe de f admet son extremum sur l'axe des abscisses.
L'ensemble des solutions est l'ensemble des réels privé de 2, ce qui s'écrit S=R∖{2}. S = R ∖ { 2 } . Lorsque l'équation admet deux ou plusieurs solutions, on les présente en les séparant par des points-virgules. Exemple : soit l'équation x2=9.
En utilisant le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires (c'est-à-dire le théorème appliqué au cas des fonctions strictement monotones), on peut montrer qu'une équation admet une unique solution sur un intervalle. Montrer que l'équation x^3-2x+1=0 admet une unique solution sur \left]-\infty ; -1 \right].
Étape 1 : Calcul du discriminant Δ = b² - 4ac. Si Δ < 0 : Pas de solution à l'équation ; Si Δ = 0 : Une seule solution S = -b/2a ; Si Δ > 0 : Deux solutions à l'équation S = {(-b-racine(Δ))/2a, (-b+racine(Δ))/2a}.
Il faut donc multiplier la première équation par 2. On soustrait ensuite la deuxième équation à la première en faisant attention aux signes : On remplace ensuite le x dans la deuxième équation par la valeur trouvée dans la première équation.
Une dernière conséquence de la théorie d'Einstein – la plus connue – est que la matière (m) et l'énergie (E) sont équivalentes (E=mc2). La formule explique ainsi pourquoi le Soleil brille: lors des réactions de fusion, une petite partie de la masse est transformée en énergie qui s'échappe sous forme de rayonnement.
Voici quelques exemples d'équations impossibles :
x + 1 = x Cette équation est impossible car quelle que soit la valeur de x, on ne peut jamais obtenir l'égalité. En soustrayant x des deux côtés, on obtient 1 = 0, ce qui est une contradiction.
Une équation produit nul est une équation de la forme : (ax + b) (cx + d) = 0.
Gauss, Euclide, Archimède, Al-Khwârizmî ou Poincaré font partie des mathématiciens les plus connus dans le monde.
Mihoubi Douadaurait ainsi consacré de nombreuses années de recherche et de travail acharné pour arriver à résoudre ce problème arithmétique vieux de 281 ans. Sa passion pour les mathématiques l'a conduit à s'immerger dans cette conjecture complexe et à explorer de nouvelles approches pour la résoudre.