Théorème : La série ∑nun ∑ n u n est convergente si et seulement si, pour tout ε>0 , il existe un entier N∈N N ∈ N tel que, pour tous q≥p≥N q ≥ p ≥ N , on a ∥∥ ∥∥q∑n=pun∥∥ ∥∥≤ε.
En mathématiques, une série est dite convergente si la suite de ses sommes partielles a une limite dans l'espace considéré. Dans le cas contraire, elle est dite divergente.
On considère donc une série ∑ u n à termes réels. On a, pour tout : u n + ≤ | u n | et u n − ≤ | u n | . Ainsi, si la série ∑ | u n | est convergente, il en est de même des séries ∑ u n + et ∑ u n − , et donc de la série ∑ u n .
2/ Théorèmes de convergence
* Si (un) est croissante et majorée alors (un) converge. La suite « monte » mais est bloquée par « un mur » donc elle possède une limite finie. * Si (un) est décroissante et minorée alors (un) converge. La suite « descend » mais est bloquée par « un mur » donc elle possède une limite finie.
Une suite est convergente si elle tend vers un nombre fini ; une suite est divergente si elle tend vers l'infini ou si elle n'a pas de limite. Une suite (un) est convergente vers un nombre réel l si, pour tout intervalle I centré en l, il existe un rang p, à partir duquel les termes de cette suite appartiennent à I.
Pour montrer que ( ) ne converge pas uniformément sur vers , il suffit de trouver une suite ( ) de points de telle que la suite ( f n ( x n ) − f ( x n ) ) ne tende pas vers 0 lorsque tend vers .
La convergence signifie que deux moyennes mobiles se rejoignent, tandis que la divergence signifie qu'elles s'éloignent l'une de l'autre.
La série converge si et seulement si x = a. Dans ce cas, Tf (x) = c0 = f(a). 2. Il existe une constante R ∈ R telle que la série converge pour |x − a| < R et diverge pour |x − a| > R.
Si les variables Xn, n ∈ N, sont de Bernoulli avec P(Xn = 1) = pn, P(Xn =0)=1 − pn, n ∈ N, pour tout 0 < ε ≤ 1, P(|Xn| ≥ ε) = P(Xn = 1) = pn. pn < ∞, la suite Xn, n ∈ N, converge presque sûrement vers la variable aléatoire X = 0. P(|Xn| ≥ ε) < ∞.
(Xn) converge en loi vers X si, notant Fn la fonction de répartition de Xn et F celle de X , en tout réel x où F est continue, on a : Fn(x)→F(x).
Une suite est dite convergente si ses termes ont une limite finie quand n tend vers +∞. Créé par Sal Khan.
Une suite est convergente si et seulement si les suites ( u 2 n ) et ( u 2 n + 1 ) sont convergentes et ont même limite.
Soit ( ∑ f n ) une série de fonctions définies sur et m n = sup x ∈ I { | f n ( x ) | } ( m n ∈ R + ou m n = + ∞ ) . On dit que la série de fonctions ( ∑ f n ) est normalement convergente sur lorsque la série numérique ( ∑ m n ) est convergente.
1 n(n + 1) converge et a pour somme 1. n diverge. Si la série ∑ un converge, alors le terme général un tend vers 0 quand n tend vers + & .
En mathématiques, une série infinie est dite divergente si la suite de ses sommes partielles n'est pas convergente. En ce qui concerne les séries de nombres réels, ou de nombres complexes, une condition nécessaire de convergence est que le terme général de la série tende vers 0.
Deux séries sont dites de même nature lorsqu'elles sont toutes les deux convergentes ou toutes les deux divergentes. Déterminer la nature d'une série c'est déterminer si elle converge ou si elle diverge.
Définition : Soit I un intervalle de R , (fn) une suite de fonctions définies sur I , et f définie sur I . On dit que (fn) converge simplement vers f sur I si pour tout x appartenant à I, la suite (fn(x)) ( f n ( x ) ) converge vers f(x) . Ex : I=[0,1] I = [ 0 , 1 ] et fn(x)=xn f n ( x ) = x n .
L'étude de la convergence simple revient à étudier la convergence des suites $(f_n(x))_{n\geq 1}$, lorsque $x\geq 0$ est fixé. Mais $x$ étant fixé, puisque $1+x>0$, on a clairement $f_n(x)$ qui tend vers $1/(1+x)$.
Théorème sur la convergence normale d'une série de Fourier : Soit f : R → C une fonction périodique de période T, continue et lisse par morceaux (C1 par morceaux). =⇒ Alors pour tout t ∈ R, la série de Fourier SN f(t) converge normalement (et donc uniformément), vers f(t) quand N → +∞.
Pour le domaine de convergence simple, il suffit d'étudier ce qui se passe en x = 1 et x = −1. Dans les deux cas, un(x) ne tend pas vers 0 en +∞ donc ∑un(x) diverge. Donc D =] − 1,1[. n(x2)n−1 = 2x2 (1 − x2)2 .
Proposition 1 Le rayon de convergence d'une série enti`ere ∑anzn est donné par R = sup{r ∈ R+ ; (anrn)n∈N converge vers 0}. Démonstration. Notons I := {r ∈ R+ ; la suite (anrn)n∈N est bornée} et A := {r ∈ R+ ; (anrn)n∈N converge vers 0}.
Une divergence se produit lorsque le cours d'un actif évolue dans la direction opposée de l'indicateur de momentum (ou oscillateur). Il s'agit de l'inverse d'un signal de confirmation, c'est à dire lorsque l'indicateur et le cours évoluent dans la même direction.
Ainsi, en un point, si la divergence est nulle, alors la densité ne varie pas ; si elle est positive en ce point, alors il y a diffusion.
une suite bornée n'est pas nécessairement convergente (contre-exemple : un = (–1)n est bornée — majorée par 1 et minorée par –1 — mais n'admet pas de limite) ; pour qu'une suite tende vers ±∞, il ne suffit pas qu'elle soit non bornée (contre-exemple : la suite qui vaut 0 pour n pair, et n pour n impair).