En ensemble vide ne contient aucun élément. On le représente par le symbole « Ø » ou par deux accolades vides « { } ». Dans le diagramme de Venn ci-dessous, l'ensemble A est un ensemble vide (A = Ø) puisqu'il ne contient aucun élément.
Pour démontrer que l'intérieur d'un ensemble A est vide, on peut, pour tout x∈A x ∈ A , trouver une suite (xn) dans le complémentaire de A qui tend vers x (voir cet exercice). trouver une suite (xn) qui converge vers a et telle que (f(xn)) ( f ( x n ) ) ne converge pas.
Ainsi, des mathématiciens comme Frege, Russell ou Von Neuman ont construit l'ensemble des entiers naturels, et toute l'arithmétique qui leur est jointe, uniquement à partir de l'ensemble vide. Voici comment : 0 est identifié à l'ensemble vide. 1 est identifié à l'ensemble dont le seul élément est l'ensemble vide.
Notation On va noter P∗(N) l'ensemble des parties non vides de N. Toute partie non-vide de N admet un minimum. ∀P : P(N), si P est non vide alors ∃m : N,m ∈ P et ∀p : P,m ≤ p. On montre par récurrence sur n que si P ∩ [0..n] est non vide, alors P admet un élément plus petit que tous les autres.
Nous pouvons déduire en combinant les propriétés 2 et 3 que la probabilité d'obtenir l'ensemble vide est nulle : ∅ 1 Ω 0.
Dans le langage courant, on dit que deux événements sont indépendants quand la réalisation de l'un ne dépend pas de celle de l'autre. On va donner une définition mathématique de cette notion. Deux évènements A et B sont dits indépendants si P(A B) = P(A) × P(B).
Lorsqu'un ensemble est fini, c'est-à-dire si ses éléments peuvent être listés par une suite finie, son cardinal est la longueur de cette suite, autrement dit il s'agit du nombre d'éléments de l'ensemble. En particulier, le cardinal de l'ensemble vide est zéro.
L'ensemble vide ne correspond pas à rien ; c'est en fait un ensemble qui ne contient rien, mais en tant qu'ensemble il n'est pas rien. Ce point est souvent difficile à saisir au premier abord. On peut, afin de mieux comprendre, comparer un ensemble à un sac : un sac vide est vide, mais le sac en lui même existe.
Re: Partie non vide
Après non vide ca veut simplement dire... qu'il n'est pas vide, cad qu'il contient au moins un élément.
Un ensemble F est fermé si et seulement si toute limite (dans E) d'une suite généralisée à valeurs dans F appartient à F. L'espace E est dit séquentiel si cette caractérisation de ses fermés reste vraie en remplaçant « suite généralisée » par « suite ». Tout espace métrique est séquentiel.
- L'ensemble vide Ø est un ensemble indépendant cependant il génère {0} espace vectoriel de dimension 0.
L'ensemble vide est inclus dans tout ensemble : pour tout ensemble B, ∅ ⊂ B (en effet, puisque ∅ n'a pas d'éléments, il n'est pas possible de trouver un élément de ∅ qui ne soit pas dans B). Pour dire que A est inclus dans B, on dit aussi que A est un sous-ensemble de B, ou encore que A est une partie de B.
Le symbole R désigne l'ensemble des nombres réels. Tous les nombres naturels, entiers, décimaux et rationnels sont des nombres réels.
L'ensemble vide est voisinage de chacun de ses points, puisqu'il n'en a pas. De manière générale, une assertion commençant par quelque chose du genre "∀x∈∅" est vraie; en quelque sorte, il n'y a rien à vérifier.
Sous Windows, selon la page de code utilisée, on peut taper Alt + 0 2 4 8 pour ø et Alt + 0 2 1 6 pour le Ø majuscule pour la page de code 1252, ou Alt + 1 5 5 pour ø et Alt + 1 5 7 pour le Ø majuscule pour la page de code 850.
Une partie X de E est ouverte si et seulement si pour tout élément x de X, il existe un réel δ > 0 tel que B(x, δ) ⊂ X. B) On montre que X est une réunion (quelconque) de parties ouvertes ou une intersection finie d'ouverts.
Une partie d'un ensemble ordonné est bornée si elle admet à la fois un majorant et un minorant dans l'ensemble ordonné. En dehors du cas où la partie elle-même contient un majorant et un minorant, cette définition dépend donc a priori du reste de l'ensemble ordonné.
DEFINITION: Soit E un ensemble non vide, ordonné. E est dit minoré, s'il existe un élément m tel que tout élément x de E soit supérieur ou égal à m. E est dit majoré s'il existe un élément M tel que tout élément x de E soit inférieur ou égal à M. E est dit borné s'il est en même temps minoré et majoré.
Soit f:E→R f : E → R une fonction définie sur un ensemble E et soit a∈E a ∈ E . On dit que f admet un maximum en a si, pour tout x∈E x ∈ E , f(x)≤f(a) f ( x ) ≤ f ( a ) .
On appelle cardinal de E le nombre d'éléments de E, noté #E ou card E( ). ( )= #A+#B −# A>B ( ).
Définition. Un p-uplet est une séquence immutable, c'est-à-dire une suite indexée de valeurs (de n'importe quel type) que l'on ne peut pas modifier.
L'ensemble ayant pour éléments tous les sous-ensembles ou parties d'un ensemble E est noté de la façon suivante : P(E). Si Card(E) = n, alors : Card(P(E)) = 2n. Une partie d'un ensemble E différente de E et non vide est appelée une partie propre de l'ensemble E.
Soient A et B deux ensembles tels que Card(A) = 4, Card(B) = 3 et Card(A ∩ B) = 1. La formule du crible implique Card(A ∪ B) = Card(A) + Card(B) − Card(A ∩ B)=4+3 − 1=6.