Méthode 1 : en connaissant une racine a du polynome p (possiblement une racine évidente), alors le polynome peut se factoriser par (x−a) , soit p=(x−a)⋅q(x) p = ( x − a ) ⋅ q ( x ) avec q(x) un polynôme de degré 2 (méthode de factorisation ci-dessus).
Formule. k × A + k × B = k × (A + B). Pour réussir à factoriser, il faut donc identifier le facteur commun k, puis A et B. Ensuite, il faut remplacer les valeurs trouvées dans la formule.
Pour factoriser le polynôme P= x3-x2-4x + 4 = 0, on constate que x=1 est une racine de P. Le polynôme se factorise donc sous la forme P= (x-1)(a x2+b x+c). On développe le membre de droite et on regroupe les termes de même degré. P= a x3 + (b-a) x2 + (c-b) x -c.
Factoriser une expression, c'est transformer une somme ou une différence en un produit. Il faut donc à la base avoir au moins deux termes que l'on additionne ou soustrait. Par exemple dans 8x + 5, les deux termes sont 8x et 5. Dans 6(x+4)2 – 9, les deux termes sont 6(x+4)2 et 9.
Comme f est un polynôme du quatrième degré alors g en est un du troisième. Donc g est de la forme : g(x) = a.x3 + b.x2 + c.x + d Reste à déterminer les coefficients a, b, c et d. Développons le second membre de cette égalité.
Si un polynôme P de degré 3 admet une racine réelle α , alors ce polynôme est factorisable par (x −α). on a alors : P(x) = (x −α)×Q(x) où Q(x) est un polynôme de degré 2. Utilisation : Le polynôme P(x) = x3 −4x2 −7x +10 admet comme racine évidente le nombre 1.
Factoriser une expression numérique ou littérale, c'est l'écrire sous la forme d'un produit. Exemples d'expressions non factorisées : Les expressions possèdent deux termes (séparés par un + ou un – ) comportant chacun deux facteurs.
Si on peut diviser par un polynôme du type (ax+by+c) fais x=y dans ton polynôme initial. P. 4(2x+3+a1y)(x+1+a2y)(x−1+a3y)(x+2+a4y)(x−2+a5y).
La factorisation première d'un nombre
La factorisation première consiste à écrire un nombre naturel supérieur à 1 sous la forme d'un produit de facteurs premiers. Un facteur premier est un facteur qui est un nombre premier.
Soit f ( x ) = a x 2 + b x + c où a ≠ 0 un polynôme du second degré et Δ = b 2 − 4 a c son discriminant. Si : se factorise sous la forme f ( x ) = a ( x − x 1 ) ( x − x 2 ) où et sont les deux racines du polynôme.
On calcule le discriminant Δ = b2 – 4ac de la fonction polynôme f définie par f(x) = ax2 + bx + c. Étudier le signe du discriminant Δ. Si Δ < 0, alors cette équation n'admet pas de solutions réelles. Si Δ = 0, alors cette équation admet une solution unique .
L'identité a^3 - b^3 = (a - b)(a² + ab + b²).
2-2 Si ∆ = 0 : Racines : Une racine réelle dite "double" : x1 = − b 2a . Factorisation : Pour tout x, ax2 +bx+c = a(x−x1)2.
Si \Delta=0, on peut factoriser f(x) sous la forme f(x)=a(x-x_0)^2, avec x_0 la racine double de f. Si \Delta>0, on peut factoriser f(x) sous la forme f(x)=a(x-x_1)(x-x_2), avec x_1 et x_2 les deux racines de f.
2°) On dira que 7 × x + 7 × 2 ( ou 7x + 14 ) est une expression développée, et, 9 ( 2y + 3 ) est une expression factorisée.
Définition : Une expression factorisée est formée de facteurs. Exemple : Dans le produit 3×4, 3 et 4 sont les facteurs.