L'écriture x+iy x + i y , où x∈R et y∈R x ∈ R et y ∈ R , d'un nombre complexe z est appelée la forme algébrique du nombre complexe z .
On note z′=z+iz−i. On appelle X et Y respectivement la partie réelle et imaginaire de z′. Déterminer X et Y en fonction de x et y. On note Z=¯z3−¯z où z est un nombre complexe de forme algébrique z=x+iy où x et y sont des nombres réels tels que (x ; y)≠(3 ; 0).
Tout élément z de s'écrit de manière unique : z = a + ib (a et b réels), donc si z = a + ib et z' = a' + ib', z = z' ⇔ a = a' et b = b'. a + ib (a et b réels) s'appelle la forme algébrique du nombre complexe z. Le réel a s'appelle la partie réelle de z, notée Re(z).
Passer d'une forme trigonométrique ou exponentielle à la forme algébrique. Si un nombre complexe écrit sous forme trigonométrique z = \left| z \right|\left(\cos \theta + i \sin \theta\right) ou sous forme exponentielle z = \left| z \right|e^{i\theta}, on peut retrouver sa forme algébrique.
Forme exponentielle des nombres complexes
La dernière formule trouvée pour l'argument d'un produit n'est pas sans rappeler les exponentielles, puisque le produit de deux exponentielles est égal à l'exponentielle de la somme. C'est pour cette raison que l'on introduit la notation suivante : eiθ=cosθ+isinθ.
La notation exponentielle est une façon d'exprimer un nombre sous la forme d'une puissance ab, où a est appelé la base et b, l'exposant. L'exposant correspond au nombre de fois que l'on doit multiplier la base par elle-même.
Donnons les formes exponentielle et trigonométrique 1 - i: Le module de 1 - i est: 1 - i = 12 + 12 => 1 - i = 2. = 2 2 2 - i 2 2 .
La forme = a + jb pour le couple (a, b ) est appelée forme cartésienne. La notation « j », au lieu de « i » comme en mathématiques, est spécifique à l'électricité pour éviter la confusion avec le courant.
Une astuce assez courante consiste à multiplier numérateur et dénominateur par a − i b : 1 z = ( a − i b ) ( a + i b ) ( a − i b ) . Or ( a + i b ) ( a − i b ) = a 2 − i 2 b 2 = a 2 + b 2 ce qui donne le résultat.
Afin de calculer le module ∣z∣ et un argument θ d'un nombre complexe z, on détermine sa forme algébrique z = a+ib.
En d'autres termes, n'importe quelle fraction complexe peut être simplifiée, d'abord en calculant le numérateur et le dénominateur pour obtenir deux fractions simples, ensuite en multipliant la fraction du numérateur par l'inverse de la fraction du dénominateur.
Si le nombre complexe est sous la forme d'un quotient de deux nombres complexes dont le dénominateur n'est pas un réel, on multiplie le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur. Ainsi, si z = \dfrac{a+ib}{c+id}, on multiplie le numérateur et le dénominateur par \overline{c+id}= c-id.
Deux nombres sont inverses lorsque leur produit est égal à 1.
Sous sa forme algébrique, un nombre complexe se présente ainsi : z=x+iy, z = x + i y , avec i2=−1. i 2 = − 1. Sous sa forme trigonométrique, il ressemble à ceci : z = |z|(cosθ+isinθ), θ + i sin qui s'écrit aussi z = r(cosθ+isinθ). θ + i sin
Le complexe associé à un point est appelé l'affixe de ce point. Une affixe est constituée d'une partie réelle et d'une partie imaginaire correspondant respectivement à l'abscisse et l'ordonnée du point.
Un nombre complexe correspond à une extension d'un nombre réel, sans représentation dans le monde sensible. Utilisé pour résoudre des équations mathématiques complexes, il peut être algébrique, vectoriel ou encore exponentiel.
On appelle forme algébrique (ou cartésienne) d'un nombre complexe z = (x, y) l'expression z = x +jy. si x = 0, alors z = jy est un nombre imaginaire pur: z ∈I L'ensemble des nombres imaginaires purs se note I.
On qualifie de cartésiennes les idées ou les personnes qui se fient à des principes réels, à des faits, et non à des croyances ou à des suppositions. Le terme provient de l'inventeur de ce courant de pensée philosophique, René Descartes, qui l'a développé dans son Discours de la méthode.
Coordonnées cartésiennes (x,y) et coordonnées polaires (ρ,θ) sont liées par x = ρ . cos θ et y =ρ . sin θ.
La définition de l'exponentielle est la solution de l'équation f′=f avec f(0)=1 f ( 0 ) = 1 , c'est à dire la fonction qui est sa propre dérivée et qui a pour valeur 1 en 0. La fonction exponentielle se note exp et a par défaut pour base le nombre e≈2.71828… (regarder les décimales du nombre e).
Un complexe se note souvent z, et s'écrit sous la forme z = a + ib, avec a et b réels, par exemple 3 + 4i, 5 – 2i, -8 + 7i… a est la partie RÉELLE, tandis que b est ce que l'on appelle la partie IMAGINAIRE.
Tout nombre complexe non nul peut donc s'écrire sous une forme trigonométrique : z = r (cos(θ) + i sin(θ)) avec r > 0. Le réel positif r est appelé le module du complexe z et est noté |z|. Le réel θ est appelé un argument du complexe z et est noté arg(z).
Le nombre e est la base des logarithmes naturels, c'est-à-dire le nombre défini par ln(e) = 1. Cette constante mathématique, également appelée nombre d'Euler ou constante de Néper en référence aux mathématiciens Leonhard Euler et John Napier, vaut environ 2,71828.
La règle de la fonction logarithmique de base est f(x)=logcx f ( x ) = log c où c≠1 c ≠ 1 et c>0. c > 0. L'argument du logarithme (x) doit être supérieur à 0.