Si f est une application d'un ensemble E dans un ensemble F, et si H est une partie de E, la restriction de f à H est l'application g définie sur H par g(x)=f(x) pour tout x∈H (g est souvent notée f|H), ce qui ne fait pas intervenir l'ensemble d'arrivée. Autrement dit g est une application de H dans F.
Restriction d'une application, prolongement, application induite : Si f est une application de E vers F, et P une partie de E, on appelle restriction de f à P et on note f/P l'application de P vers F qui coïncide avec f pour tout élément de P : f/P : P → F, f/P(x) = f(x) pour tout x de P.
Lorsque la courbe est au-dessus de l'axe 𝑥 des abscisses, le signe de la fonction est positif, quand elle est en dessous de l'axe 𝑥 des abscisses, le signe de la fonction est négatif et à l'intersection avec l'axe 𝑥 des abscisses, le signe de la fonction est nul.
La fonction cube est définie sur ℝ par f( x) = x. La fonction cube est strictement croissante sur ℝ. La fonction cube est impaire : f( -x) = ( -x)³ = – x³ = – f( x).
Une fonction est croissante sur un intervalle si pour tous les réels a⩽b a ⩽ b de cet intervalle alors f(a)⩽f(b).
On dit que la fonction est strictement croissante sur l'intervalle [a,b] si la courbe représentant la fonction monte sur cet intervalle; elle est strictement décroissante sur l'intervalle [a,b] si la courbe descend sur cet intervalle. x1<x2⇒f(x1)<f(x2).
La limite de x ↦ 1/x en l'infini est égale à 0 : La limite de x ↦ 1/x en 0 n'existe pas.
Si a ∈ D et si f poss`ede une limite `a gauche en a ou une limite `a droite en a distincte de f (a), alors f n'admet pas de limite en a.
On effectue souvent des limites quand x tend vers l'infini, c'est à dire qu'on prend x le plus grand possible et l'on cherche la valeur qu'atteint f(x). Lorsque la limite en a est un nombre l réel, on dit que la limite est finie. A l'inverse si la limite en a de f est +∞ ou -∞ alors f n'admet pas de limite finie.
La restriction d'une fonction à tout son domaine de définition est égale à la fonction elle-même : f |dom(f) = f. La restriction de la fonction identité sur un ensemble X à un sous-ensemble A de X est simplement l'injection canonique ι de A dans X.
Le code de restriction est un code à quatre chiffres qui permet de verrouiller certaines fonctions de votre téléphone portable. Il est généralement utilisé pour empêcher les enfants d'accéder à des contenus inappropriés ou de passer des appels coûteux.
Si les valeurs de 𝑓 ( 𝑥 ) tendent vers une valeur finie 𝐿 lorsque les valeurs de 𝑥 tendent vers l'infini, alors on dit que la limite de 𝑓 ( 𝑥 ) à l'infini existe et est égale à 𝐿 et nous notons cela par l i m → ∞ 𝑓 ( 𝑥 ) = 𝐿 .
une deuxième fonction de deux variables. f(x, y) ≤ f(x0,y0). ! Une fonction peut ne pas avoir de maximum sous contrainte. Chercher le minimum de f sous la contrainte c(x, y)=0 c'est chercher, parmi tous les couples (x, y) de D(f) tels que c(x, y)=0, celui pour lequel f(x, y) est minimum.
Par exemple, la fonction f : x ↦ |x|/ x n'est pas définie en 0 ; lorsque x tend vers 0 par valeurs inférieures, f(x) tend vers -1 et lorsque x tend vers 0 par valeurs supérieures, f(x) tend vers 1. La limite à gauche de f en 0 est -1 et sa limite à droite en 0 est 1.
L'astuce consiste souvent à trouver deux ensembles A = {(x,h(x))} et B = {(x,k(x))} (h et k fonctions à trouver) tels que lim(x,y)€A-->(0,0) f(x,y) est différent de lim(x,y)€B-->(0,0) f(x,y). Par exemple, sauf erreur: f(x,y) = xy2 / (x2 + y4), f(0,0) = 0.
On dit qu'une fonction f est dérivable sur un intervalle I lorsque f est dérivable en tout point de I. On note f la fonction dérivée de f qui à tout x ∈I associe f (x). Si g ne s'annule pas sur I, f g est aussi dérivable sur I et ( f g ) = f g − fg g2 . f (x) = ax + b cx + d .
les limites de la fonction rationnelle h(x) = en -¥ et +¥ sont celles du quotient de ses deux termes dominants . les limites de la fonction rationnelle j(x) = en -¥ et +¥ sont celles du quotient de ses deux termes dominants .
La limite de f f en (0,0,0) ( 0 , 0 , 0 ) ne peut pas exister. Il suffit d'étudier la limite des deux fonctions coordonnées (f1,f2) ( f 1 , f 2 ) .
Pour calculer la limite d'une fonction composée, il suffit de calculer les limites « au fur et à mesure » en commençant par les limites des expressions « les plus intérieures ». u ( x ) = 2 + 1 x 2 et f ( x ) = x .
On dit qu'une fonction f admet un maximum M en x_0 sur un intervalle I si et seulement si pour tout x qui appartient à I, on a M = f(x_0), avec x_0 \in I, et (f(x) \leq f(x_0) = M.
Définition de la fonction affine
La fonction f qui associe à tout nombre x le nombre mx + p est une fonction affine. Son expression algébrique s'écrit : f(x) = mx + p. m est le coefficient directeur de la fonction et on ajoute p au résultat. Par une fonction affine, chaque image a un seul antécédent.
L'ordre croissant est une disposition de nombres allant du plus petit au plus grand. L'ordre décroissant est une disposition de nombres allant du plus grand au plus petit. Les nombres peuvent être ordonnés du plus petit au plus grand ou dans le sens inverse.
Lorsqu'on cherche la règle d'une fonction valeur absolue, 3 cas sont possibles. Dans tous les cas, on utilise la forme canonique simplifiée : f(x)=a|x−h|+k. f ( x ) = a | x − h | + k .
Quelques limites « usuelles »
Exemples : f(x) = (2x3 - x)/x2. La limite en ±∞ est celle de 2x3/x2 = 2x; donc lim f = ±∞ avec le signe de x. Si g(x) = (2x - 1)/(1-x2). la limite en ± ∞ est celle de 2x/(-x2) = -2/x; donc lim g = 0.