Ainsi, pour déterminer le plus grand multiple d'un nombre a inférieur à un autre nombre b, on peut partir de a + 1 et parcourir tous les nombres entiers jusqu'à b en testant s'ils divisent a.
En dernier recours, pour trouver le PGCD (Plus Grand Commun Diviseur) ou le PPCM de deux nombres a et b, on peut utiliser leurs décompositions en facteurs premiers. - Le PGCD de a et de b est le produit des facteurs premiers communs aux deux décompositions affectés de leur plus petit exposant.
Les multiples d'un nombre
Un multiple d'un nombre correspond au produit de ce nombre avec un autre nombre entier. L'ensemble des multiples d'un nombre est le résultat de la multiplication de ce nombre par chacun des nombres entiers (Z ). 12 est un multiple de 3 , car 3×4=12 3 × 4 = 12 .
Plus grand diviseur commun
Un diviseur commun à deux ou plusieurs nombres entiers est un nombre entier qui divise chacun d'eux. Exemple : 36 = 12 × 3 et 24 = 12 × 2. Donc 12 est un diviseur commun à 36 et à 24.
Méthode 2 : le tableau des diviseurs premiers
Cette méthode consiste à diviser simultanément les nombres étudiés par des diviseurs premiers. Le PGCD sera alors le produit de ces diviseurs premiers. Cette méthode est plus rapide et efficace lorsque l'on cherche le PGCD entre deux grands nombres.
On calcule le PGCD de 756 et 441 (ce sera un multiple de 3) ; il s'agit de 63.
Quel est le plus grand commun diviseur des nombres 400, 122 et 98? 8.
En effet, 420 = 2 x 10 x 21 et 540 = 2 x 10 x 27. Or PGCD(21 ; 27) = 3 donc PGCD(420 ; 540) = 2 x 10 x 3 = 60.
PGCD (2622 ; 2530) = PGCD (2530 ; 92) = PGCD (92 ; 46) = 46 car 46 est un diviseur de 92. Le chocolatier peut réaliser au maximum 46 paquets • 2622 46 = 57 et 2530 46 = 55 Chaque paquet sera composé de 57 œufs et de 55 poissons.
Les diviseurs communs de 12 et 18 sont 1, 2, 3, et 6. Le PGCD (12 ; 18) est 6. Méthode 2 : Algorithme des soustractions. Propriété du PGCD : On prend deux nombres entiers strictement positifs a et b.
Exemple : calculer le ppcm de 45, 48 et 51
Il suffit de faire le produit de chaque facteur premier à l'exposant le plus élevé : le PPCM des trois nombres de 45, 48 et 51 est égal à : 24 × 32 × 5 × 17 = 12240.
Cette méthode consiste à diviser simultanément les nombres dont on cherche le PPCM par des diviseurs premiers. Le PPCM sera alors le produit de ces diviseurs premiers. Attention, la méthode est légèrement différente de celle présentée pour le PGCD.
24 est multiple de : 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 et 24 !
Pour trouver tous les multiples de 14 entre 100 et 200, on peut diviser 100 et 200 par 14. Le plus petit multiple de 14 supérieur à 100 est 14 x 8 = 112. Le plus grand multiple de 14 inférieur à 200 est 14 x 14 = 196.
5: { 5; 10; 15; 20; 25; 30: 35; 40; 45; 50, … } 7: { 7; 14; 21; 28; 35; 42; 49; …} 5: { 5; 10; 15; 20; 25; 30: 35; 40; 45; 50, … } 7: { 7; 14; 21; 28; 35; 42; 49; …}
Un nombre est multiple de 25 s'il se termine par 00, 25, 50 ou 75. Exemple : 25 ; 50 ; 75 ; 100 ; 125 ; 150 ; 175 ; 200 ; etc.
1) Calculer le PGCD des nombres 135 et 210. Algorithme d'Euclide 210 = 135 x 1 + 75 135 = 75 x 1 + 60 75 = 60 x 1 + 15 60 = 15 x 4 + 0 Le dernier reste non nul est 15, donc PGCD (135 ; 210) = 15.
PGCD ( 182 ; 78 ) = 26 Julie pourra faire 26 bouquets identiques.
Le plus grand commun diviseur à 162 et 108 est 54; le cuisinier peut donc préparer 54 barquettes. c. On a 162 ÷ 54 = 3 et 108 ÷ 54 = 2.
Ces deux nombres ont donc 22 × 3 en commun dans leurs décompositions en produit de facteurs premiers. Comme 22 × 3 = 12, le plus grand diviseur commun aux nombres 252 et 156 est donc 12.
4) Par conséquent, le PGCD de 168 et 86 est 2.
Les multiples communs à deux nombres
Soient a, b et m trois entiers, a et b étant non nuls. Le nombre m est un multiple commun à a et à b s'il est divisible par a et par b. On recherche des multiples communs à 4 et 14. Les premiers multiples de 4 sont : 0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, etc.
Par exemple, le PGCD de 16 et 24 est 8, car il s'agit du plus grand diviseur commun entre 16 et 24. Ces nombres ont aussi d'autres diviseurs communs, soit 2 et 4, mais il ne s'agit pas de leur plus grand diviseur commun.
Exemples. Trouver le PGCD de 28 et 42 : 1.
Si mult(12) = {0, 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, …} et mult(15) = {0, 15, 30, 45, 60, 75, 90, …}, alors : PPCM(12, 15) = 60.