Pour déterminer les points critiques d'une fonction, on pose sa dérivée première égale à zéro, puis on résout cette équation pour trouver les valeurs de ? . On doit aussi vérifier s'il existe des valeurs de ? appartenant à l'ensemble de définition de la fonction pour lesquelles sa dérivée première n'est pas définie.
Définition Les points critiques d'une fonction f de deux variables sont les points o`u son gradient s'annule. Les points critiques de f := (x,y) ↦→ x3 − 3x + y2 sont ceux qui vérifient les deux équations 3x2 − 3=0et2y = 0. On trouve deux points critiques : (1,0) et (−1,0).
Soit f une fonction de n variables x1, ... , xn, à valeurs réelles, différentiable sur un ouvert U. On dit qu'elle admet un point critique en un point u de U quand son gradient est nul en ce point. Notamment, si u est un point d'extremum local de f alors c'est un point critique.
Le point critique d'un corps pur est le point du diagramme température-pression, généralement noté C, où s'arrête la courbe d'équilibre liquide-gaz. La température TC et la pression PC du point critique sont appelées température critique et pression critique du corps pur.
Un point stationnaire est un point où la dérivée s'annule : f′(x)=0. En un point stationnaire, la tangente à la courbe est horizontale. 1. Si la dérivée s'annule en changeant de signe : Si on a dans cet ordre, f′(x) < 0, f′(x)=0, f′(x) > 0, alors le point stationnaire est un point minimum.
A retenir : a est l'abscisse d'un point d'inflexion de la courbe si la dérivée seconde s'annule en changeant de signe en a. Si la dérivée première s'annule en changeant de signe en a, alors a est l'abscisse d'un extremum.
Si la dérivée d'une fonction s'annule un point de son ensemble de définition et change de signe alors ce point correspond à un extremum local: - si la dérivée est négative avant ce point (f décroissante) puis positive après (f croissante) alors il s'agit d'un minimum local.
Toujours selon la norme ISO 22000, le CCP (Critical Control Point ou Point Critique de Contrôle) est une « étape à laquelle une mesure de maîtrise peut être appliquée et est essentielle pour prévenir ou éliminer un danger lié à la sécurité des denrées alimentaires ou le ramener à un niveau acceptable ».
La fonction affine est une fonction qui, à un nombre x, associe ax+b où a et b sont deux réels donnés. Une fonction affine représentée par une droite non parallèle à l'axe des ordonnées. Lorsque b = 0, il s'agit d'une fonction linéaire qui est représentée par une droite passant par l'origine du repère.
Soit f est une fonction définie sur une fonction définie sur un ouvert U de Rn à valeurs dans R , différentiable. On dit que a est un point col, ou point selle si a est un point critique (ie dfa=0 d f a = 0 ) et si f ne présente pas d'extrémum local en a .
Il y a une deuxième méthode : Si f(M) - f(x) > 0, alors M est le maximum de f. Si f(m) - f(x) < 0, alors m est le minimum de f. La fonction carré f(x) = x² admet un minimum en 0 qui est 0.
Pour trouver l' extremum d'une fonction (les points les plus haut ou les plus bas sur l'intervalle où est définie la fonction) calculer au préalable la dérivée de la fonction et faire une étude de signe. Un extremum d'une fonction est atteint lorsque la dérivée s'annule et change de signe.
Si la fonction f est dérivable et a un extremum dans ] a , b [ , il est atteint en un réel c où la dérivée de f s'annule. On calcule sa valeur en ces points. On regarde la valeur de la fonction sur les bords c'est-à-dire en a et b et on compare avec les valeurs aux points où la dérivée s'annule.
Théorème : Théorème des valeurs extrêmes
Si ? ( ? ) est continue sur l'intervalle [ ? ; ? ] , alors il existe ? , ? ∈ [ ? ; ? ] tels que ? ( ? ) est le maximum global et ? ( ? ) est le minimum global de ? sur l'intervalle [ ? ; ? ] .
une deuxième fonction de deux variables. f(x, y) ≤ f(x0,y0). ! Une fonction peut ne pas avoir de maximum sous contrainte. Chercher le minimum de f sous la contrainte c(x, y)=0 c'est chercher, parmi tous les couples (x, y) de D(f) tels que c(x, y)=0, celui pour lequel f(x, y) est minimum.
La représentation graphique d'une fonction linéaire est une droite passant par l'origine du repère. La représentation graphique d'une fonction affine est une droite passant par le point de coordonnées (0 ; b). Vocabulaire : a est appelé le coefficient directeur de la droite.
La différence fondamentale entre les deux notions y réside : le PRPo est issu d'un PRP alors que le CCP est une « étape » (a priori du procédé de fabrication).
Des mesures de maîtrise ciblant un ou des dangers spécifiques, identifiées par l'analyse des dangers comme essentielles pour maîtriser la probabilité d'introduction de dangers sont dénommées « pré-requis opérationnels » (PRPo).
Mesure de maîtrise: Toute intervention et activité à laquelle on peut avoir recours pour prévenir ou éliminer un danger qui menace la salubrité de l'aliment ou pour le ramener à un niveau acceptable.
Extrema d'une fonction. Le maximum d'une fonction f définie sur un ensemble E et à valeurs dans un ensemble F ordonné est le maximum de l'ensemble des valeurs prises par f (de la partie f(E) de F).
Une fonction f définie dans un sous-ensemble E de nombres réels admet un minimum m en un point a de E si m = f(a) et si, quel que soit x de E, f(x) est supérieur ou égal à f(a). On dit alors que m est le minimum de l'ensemble des images de f.
La forme ax2 + bx + c est appelée la forme développée de f. On admet que cette forme est unique. Soit a, b et c, trois réels où a ≠ 0. Cette forme est appelée la forme canonique du polynôme.