Si on connaît les coordonnées (a ; b) et (c ; d) de deux points d'une droite, on peut calculer son coefficient directeur m. On peut ensuite écrire immédiatement qu'une équation de cette droite est y - b = m(x - a).
Pour trouver le coefficient directeur d'une droite, on a besoin de connaître deux points A ( x A ; y A ) A(x_A\ ;y_A) A(xA ;yA) et B ( x B ; y B ) B(x_B\ ;y_B) B(xB ;yB) qui appartiennent à la droite dont on cherche l'équation réduite.
On calcule la valeur du coefficient directeur directeur m à partir des coordonnées des points A et B : . On lit sur le graphique la valeur de l'ordonnée à l'origine p (c'est l'intersection entre la droite et l'axe des ordonnées). On trouve p = –2. L'équation de la droite (d2) est donc : y = x – 2.
Pour calculer les coordonnées d'un vecteur à partir de deux points, nous devons soustraire les coordonnées du point de départ des coordonnées du point d'arrivée. Autrement dit, si nous disposons des points A ( x A , y A ) et B ( x B , y B ) , alors nous avons le vecteur A B → = ( x B − x A y B − y A ) .
Déterminez la pente avec deux points.
Utilisez l'un des points de l'équation y = mx + b. Insérez les coordonnées de l'un des points dans l'équation où m est la pente. Ensuite, résolvez pour b, qui est l'intersection de l'axe des ordonnées (Y) de la ligne qui relie les deux points.
Une équation de droite se présente sous la forme : y = ax + b avec a le coefficient directeur et b l'ordonnée à l'origine. Ici b = 0, car la droite coupe l'axe des ordonnées au point 0. Pour déterminer a, il suffit de se placer sur le point correspondant à l'ordonnée à l'origine (b).
Cours. x(AB*)=x(B)-x(A) c'est à dire l'abscisse du point B moins l'abscisse du point A. y(AB*)=y(B)-y(A) c'est à dire l'ordonnée du point B moins l'ordonnée du point A.
Le point origine du vecteur A B → \overrightarrow{AB} AB (ici le point A) est le point de départ qui en caractérise le sens. Le point extrémité de A B → \overrightarrow{AB} AB (ici le point B) est le point d'arrivée qui en caractérise le sens.
On considère la droite (D) d'équation cartésienne 2x – 3y + 1 = 0. 1°) Déterminer un vecteur directeur de (D). 2x – 3y + 1 = 0 est de la forme ax +by + c = 0 avec a = 2; b = –3 et c =1. La propriété ci-dessus permet donc d'affirmer que le vecteur est vecteur directeur de (D).
Il y a deux formules élémentaires pour le produit scalaire qui sont couramment utilisées. Considérons les vecteurs u → = ( u x u y ) et v → = ( v x v y ) . Une première formule pour le produit scalaire est u → ⋅ v → = u x v x + u y v y .
Propriété Le vecteur (-b\: ; a) est un vecteur directeur de la droite d'équation ax + by + c = 0. Logique Réciproquement, si le vecteur (-b \:; a) est un vecteur directeur de d, alors une équation cartésienne de d est ax + by + c = 0 (avec c à déterminer).
Pour déterminer l'équation réduite de la forme y = mx + p d'une droite (d) à partir des coordonnées de deux points A et B appartenant à (d) : calculer la valeur du coefficient directeur m à partir de la relation ; calculer la valeur de l'ordonnée à l'origine p en utilisant les coordonnées du point A ou B.
Théorème Soit une droite d de coefficient directeur m. Il existe un unique nombre p tel que l'équation de d s'écrit y = mx + p .
L'ensemble des points M(x,y) tels que ax + by + c = 0 avec (a,b) ≠ (0,0) est une droite vecteur directeur . Cette propriété permet de : caractériser en tant que droite l'ensemble des points M(x,y) vérifiant une égalité du type ax + by + c = 0 avec (a,b) ≠ (0,0) ; déterminer un vecteur directeur de cette droite.
Une équation cartésienne de droite est une équation de la forme ax+by+c=0. Remarque : Il existe une infinité d'équations cartésiennes d'une même droite. Propriété : Si une droite a pour équation cartésienne ax+by+c=0 alors un vecteur directeur de cette droite a pour coordonnées (−b;a).
Il est facile de déterminer un vecteur directeur. Si la droite est écrite sous forme réduite (soit y=ax+b y = a x + b ), le vecteur →u(1;a) u → ( 1 ; a ) fait l'affaire. Si son équation apparaît sous forme cartésienne, on prend →u(−β;α) u → ( − β ; α ) ou →u(β;−α) u → ( β ; − α ) .
On appelle vecteur normal de la droite (D) tout vecteur (non nul) orthogonal à un vecteur directeur de la droite. Si l'équation cartésienne de (D) est ax+by+c=0, alors un vecteur normal de (D) est le vecteur de coordonnées (a,b).
On rappelle que deux droites sont parallèles si elles ont le même vecteur directeur. Comme les deux droites sont parallèles, elles ont le même vecteur directeur. On peut donc utiliser le vecteur directeur de la droite donnée pour ⃑ 𝑑 dans l'équation vectorielle de la droite recherchée.
D'après un théorème du cours, si ax + by + c = 0 est une équation cartésienne d'une droite (d), alors le vecteur est un vecteur directeur de (d) ; à l'aide du vecteur directeur , placer un second point de la droite à partir du point A ; relier les deux points pour obtenir la droite souhaitée.
Les vecteurs AB et CD sont égaux, en effet ils ont : même longueur : AB = CD même direction : (AB) // (CD) même sens : le sens de A vers B est le même que le sens de C vers D. Le vecteur qui a une longueur nulle est appelé vecteur nul et on le note 0 .
La direction d'un vecteur est déterminée par une demi-droite, appelée support du vecteur dont le sens est celui allant de l'origine de la demi-droite vers l'infini. Si le phénom`ene qu'ils modélisent est bidimensionnel, les vecteurs vivent dans R2, s'il est tridimensionnel, ils vivent dans R3.
Les caractéristiques d'un vecteur sont sa direction, son sens et sa norme. Un vecteur qui a le même point pour origine et pour extrémité est appelé vecteur nul et est noté . Ce vecteur n'a pas de direction, pas de sens et sa norme est égale à 0. Deux vecteurs égaux ont la même direction, le même sens et la même norme.
Tracer le représentant du vecteur
On trace une flèche issue du premier point jusqu'au deuxième point. On trace une flèche issue du premier point jusqu'au deuxième point. On nomme le représentant du nom du vecteur.