On appelle vecteur normal de la droite (D) tout vecteur (non nul) orthogonal à un vecteur directeur de la droite. Si l'équation cartésienne de (D) est ax+by+c=0, alors un vecteur normal de (D) est le vecteur de coordonnées (a,b).
La droite d'équation cartésienne ax + by + c = 0 admet pour vecteur normal le vecteur \vec{n}\begin{pmatrix}{a} \\ {b}\end{pmatrix}. Réciproquement, toute droite ayant pour vecteur normal le vecteur non nul \vec{n}\begin{pmatrix}{a} \\ {b}\end{pmatrix} admet une équation cartésienne de la forme ax + by + c = 0 .
Pour cela, on pense à utiliser →n un vecteur normal du plan et →u un vecteur directeur de la droite . Si →n⋅→u=0 alors la droite est parallèle au plan. Si →n⋅→u≠0 alors la droite est sécante au plan. Si →n et →u sont colinéaires alors la droite est perpendiculaire au plan.
Si sont deux vecteurs non-colinéaires du plan P, le vecteur est normal au plan P si et seulement si est orthogonal aux vecteurs . Dans un repère orthonormal, tout plan P a une équation de forme ax + by + cz + d = 0 avec a, b et c non-nuls et le vecteur est normal à P. P est le plan d'équation est normal à P.
Pour obtenir une représentation paramétrique d'une droite à partir d'une équation cartésienne, nous devons identifier un vecteur directeur, ainsi qu'un point de la droite et remplacer ces valeurs dans la formule.
Soit une doite (D) du plan. On appelle vecteur normal de la droite (D) tout vecteur (non nul) orthogonal à un vecteur directeur de la droite. Si l'équation cartésienne de (D) est ax+by+c=0, alors un vecteur normal de (D) est le vecteur de coordonnées (a,b).
Une équation cartésienne de droite est une équation de la forme ax+by+c=0. Remarque : Il existe une infinité d'équations cartésiennes d'une même droite. Propriété : Si une droite a pour équation cartésienne ax+by+c=0 alors un vecteur directeur de cette droite a pour coordonnées (−b;a).
Méthode 1: on cherche 2 droites sécantes de P1 qui soient parallèles à 2 droites de P2. Méthode 2: Pour savoir si les plans P1(A;→u;→v) et P2(B;→u′;→v′) sont parallèles: on regarde si →u, →v et →u′ sont coplanaires puis si →u, →v et →v′ sont coplanaires.
Calcul vectoriel - Points clés
Pour calculer la norme d'un vecteur, il faut utiliser la formule ‖ v → ‖ = v x 2 + v y 2 . Pour calculer les coordonnées d'un vecteur, nous utilisons la formule A B → = ( x B − x A y B − y A ) .
Si Δ < 0, alors cette équation n'admet pas de solutions réelles. Si Δ = 0, alors cette équation admet une solution unique .
Pour déterminer si un vecteur est normal à une droite (AB), on doit rechercher si et sont orthogonaux, c'est à dire si . Soit A(0 ;2) et B(1 ; 4) et . Le vecteur est-il normal à la droite (AB) ? normal à la droite (AB) signifie que et sont orthogonaux, c'est à dire que l'on a : .
En mathématiques, et plus précisément en géométrie, la droite normale à une courbe ou à une surface en un point est une droite perpendiculaire à la tangente ou au plan tangent en ce point. Tout vecteur directeur de cette droite est appelé vecteur normal à la courbe ou à la surface en ce point.
L'équation cartésienne d'un plan est du type ax + by + cz + d = 0 avec (a ;b ;c) les coordonnées d'un vecteur normal du plan . On procède en deux étapes : D'abord déterminer un vecteur normal au plan Ensuite déterminer d . une valeur pour cette variable et on en déduit les deux autres .
Propriété Le vecteur (-b\: ; a) est un vecteur directeur de la droite d'équation ax + by + c = 0. Logique Réciproquement, si le vecteur (-b \:; a) est un vecteur directeur de d, alors une équation cartésienne de d est ax + by + c = 0 (avec c à déterminer).
Deux vecteurs non nuls sont orthogonaux si, et seulement si, u ⋅v =0.
Pour déterminer l'équation réduite de la forme y = mx + p d'une droite (d) à partir des coordonnées de deux points A et B appartenant à (d) : calculer la valeur du coefficient directeur m à partir de la relation ; calculer la valeur de l'ordonnée à l'origine p en utilisant les coordonnées du point A ou B.
On cherche les coordonnées de deux points distincts A ( x A ; y A ) et B ( x B ; y B ) de la droite d . On sait alors que A B → est un vecteur directeur de d . Montrons que u → et A B → sont colinéaires. On sait que A B → ( x B − x A y B − y A ) et u → ( − b a ) .
Équation dans laquelle les variables appartiennent à un espace vectoriel.
En utilisant la formule. Une équation cartésienne de droite est de la forme ax+by+c=0. On peut déterminer une équation cartésienne de la droite \left(d\right) lorsque l'on connaît un point de la droite et un vecteur directeur de la droite.
Il suffit de prendre un vecteur colinéaire à pour obtenir une autre représentation paramétrique. Une équation paramétrique du plan P passant par A (1 ; 2 ; 3) et de vecteurs directeurs (1 ; 0 ; 1) et (1 ; 2 ; 5) est avec t et t' ∈ . La représentation paramétrique d'une droite est .
Un vecteur \overrightarrow{n} est normal à un plan si et seulement s'il est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires de ce plan.
Cette propriété permet de caractériser en tant que droite l'ensemble des points M(x,y) vérifiant une égalité du type ax + by + c = 0 avec (a,b) ≠ (0,0) et, de plus, permet de déterminer un vecteur directeur de cette droite.
Un vecteur ⃗ n est dit normal à un plan (P) s'il est non nul et orthogonal à tous les vecteurs contenus dans (P) .
Contrairement aux équations réduites, les équations cartésiennes permettent de décrire la totalité des différentes droites du plan y compris celles qui sont verticales. Toute droite peut être définie à partir de deux points mais on peut aussi la définir à partir d'un point et un vecteur directeur.
Points clés
Le vecteur défini par deux points 𝐴 et 𝐵 , noté 𝐴 𝐵 , peut être calculé en soustrayant le vecteur ⃑ 𝐴 au vecteur ⃑ 𝐵 tel que 𝐴 𝐵 = 𝑂 𝐵 − 𝑂 𝐴 .