Pour comprendre les congruences, nous avons besoin d'un entier naturel non nul n, et de deux entiers relatifs a et b. Si a – b est
On dit que la relation de congruence est transitive. Si on divise 23 par 4, on obtient 23=4×5+3. Donc le reste est 3. Et si on divise 31 par 4, on obtient 31=4×7+3.
2/ Congruence : définition
On dit que « a est congru à b modulo n » ou que « a et b sont congrus modulo n » si : a et b ont le même reste dans la division euclidienne par n.
Pour déterminer des congruences modulo n , on élimine du nombre les multiples de n . Exemple 1 On sait que ; 15 est donc égal à un multiple de 7 plus 1 ; on a donc : On a donc un nombre limité de possibilités quand on travaille avec les congruences .
En informatique, l'opération modulo, ou opération mod, est une opération binaire qui associe à deux entiers naturels le reste de la division euclidienne du premier par le second, le reste de la division de a par n (n ≠ 0) est noté a mod n (a % n dans certains langages informatiques).
Pour ceux qui l'auraient oublié, l'opération de « modulo » désigne le reste de la division entière. Dans notre cas, si on divise 1370476243484 par 97, on obtient 14128621067 et il reste 82, donc Clé = 97 – 82 = 15.
Le modulo 10 est calculé à partir de cette somme. D'abord, la somme est divisée par 10. Le reste de la division est soustrait de 10 (calculer la différence à 10). Le résultat de cette soustraction est le chiffre checksum/check.
Le multiplicateur correspond à la position du chiffre 1 à partir de la droite. Tous les produits qui en résultent sont ajoutés. Le résultat est ensuite divisé par 11. Le reste résultant est soustrait de 11 et les résultats dans le chiffre de contrôle.
Méthode de la lettre de contrôle « MODULO 23 » Pour obtenir la clé de contrôle. Le code est divisé par 23. Le reste correspond à une lettre de prise dans une table.
Les maths expertes représentent 3 heures de cours par semaine, en plus des 6 heures de cours de la spécialité mathématiques. L'option maths expertes est une option exigeante qui requiert une forte implication des élèves et une charge de travail importante.
Dans l'ensemble des entiers naturels
On remarque alors que 1 divise tout entier naturel et que 0 est divisible par tout entier naturel.
Si le diviseur est contenu un nombre exact de fois dans le nombre à diviser, le reste est 0. Si on divise 45 par 4, le quotient est 11 et le reste est 1. Quand on veut trouver le reste avec une calculatrice, on procède ainsi. Soit à diviser 4185 par 107.
Le modulo est un peu le complément de la division entière : au lieu de donner le quotient, il renvoie le reste d'une division euclidienne. Par exemple, le modulo de 15 par 6 est 3, car 15 = 2 × 6 + 3. Notez que le symbole % doit être doublé afin de pouvoir être utilisé littéralement.
On fait de même pour la multiplication : pour a, b ∈ /n , on associe a × b ∈ /n . Par exemple 3 × 12 donne 10 modulo 26, car 3 × 12 = 36 = 1 × 26 + 10 ≡ 10 (mod 26). De même : 3 × 27 = 81 = 3 × 26 + 3 ≡ 3 (mod 26).
Afin d'éviter des erreurs lors des enregistrements ( par exemple, lors des remboursements de la Sécurité Sociale ), le dernier nombre ( rangs 14 et 15 ) est une clé de contrôle . Calcul de cette clé : On considère le nombre formé des treize premiers chiffres. Ce nombre est alors divisé par 97 ( division euclidienne ) .
L'inverse modulaire de a est l'unique entier n avec 0 < n < m, telle que le reste de a x n par m est 1. Par exemple, 4 x 13 = 52 = 17 x 3 + 1. Alors le reste de la division de 52 par 17 est 1. Ainsi, 13 est l'inverse de 4 modulo 17.
Le calcul naïf de l'exponentielle modulaire est le suivant : on multiplie e fois le nombre b par lui-même, et une fois l'entier be obtenu, on calcule son reste modulo m via l'algorithme de division euclidienne.
Enoncé: par quel nombre se termine 2 puissance 50 ? 2'50 se termine donc par 4.
Il peut-être exprimé de manière annuelle ou mensuelle, en suivant la formule de calcul suivante : Coût salarial total = salaire net + charges salariales + charges patronales + autres charges (avantages sociaux…).
Il est amusant d'observer le dernier chiffre des puissances des nombres. Le dernier chiffre du carré de 6, par exemple, est le 6 de 36. Dans ce cas le carré conserve le chiffre de ses unités. C'est le cas pour tous les nombres en 1, en 5 ou en 6; et bien entendu en 0.
La clé du numéro de Sécurité sociale, appelée aussi « clé de contrôle », est formée de deux chiffres compris entre 01 et 97. Elle est le résultat d'un calcul (algorithme de clef de Luhn) sur les 13 premiers chiffres. Elle permet de vérifier que le numéro de Sécurité sociale est bien formé.
La clé du numéro NIR est constituée de 2 chiffres et est comprise entre 01 et 97. Elle permet de vérifier la validité des 13 chiffres du numéro, grâce à un algorithme qui lui est appliqué.
On additionne ensemble tous les chiffres du nombre ainsi obtenu. Par exemple, 1111 devient 2121 dont la somme donne 6 (2+1+2+1) ; tandis que 8763 devient 7733 et 7+7+3+3 donne alors 20 ; Si le total est un multiple de 10 (le chiffre des unités est un zéro), alors le nombre est valide, en accord avec la formule de Luhn.