Le nombre 9 peut être exprimé par 9/1, 9 et 1 étant tous deux des nombres entiers. Dans toutes les formes décimales terminales, 0.5 peut être écrit comme 1/2, 5/10 ou 10/20. √81 est un nombre rationnel puisqu'il peut être réduit à 9.
Le nombre 9 peut être exprimé sous la forme 9/1, 9 et 1 étant tous deux des entiers. 0,5 peut être écrit sous la forme 1/2, 5/10 ou 10/20, car il s'agit d'une décimale terminale. √81 est un nombre rationnel puisqu'il peut être réduit à 9.
Notion de nombres rationnels
Un nombre rationnel est un nombre qui peut s'écrire sous la forme d'un quotient de deux nombres entiers, c'est-à-dire sous la forme d'une fraction.
Ensemble des nombres rationnels
Un nombre est rationnel s'il peut s'écrire sous la forme d'un quotient de deux entiers. L'ensemble des nombres rationnels se note Q.
On appelle nombre rationnel tout nombre pouvant s'écrire sous forme d'une fraction. 3,14 ; 5 ; -3,2 et -7 sont des nombres rationnels.
Nombre entier
Tous les nombres entiers sont donc des nombres rationnels.
1/3 n'est pas décimal non plus (mais c'est un nombre rationnel, forcément), car son écriture décimale est 0,33333… (ou 0,3 si on veut éviter l'implicite des “…”). Le collègue précise que le quotient n'est pas un nombre décimal, mais un nombre rationnel, car la partie décimale est illimitée.
L'ensemble des nombres réels, représenté par le symbole R, regroupe tous les nombres positifs et négatifs, rationnels ou non, incluant le nombre 0. 0. Ces nombres peuvent s'écrire à l'aide d'un développement décimal fini ou infini.
Les nombres irrationnels sont des nombres réels qui ne sont pas des nombres rationnels. Voici quelques exemples de nombres irrationnels fréquemment utilisés: Le nombre (pi) est irrationnel (Π = 3⋅14159265…), car la valeur décimale ne s'arrête jamais. √2 est un nombre irrationnel.
Théorème — Un nombre réel est irrationnel si et seulement si son développement décimal propre n'est pas périodique. On démontre de même la caractérisation analogue via le développement dans n'importe quelle base (entière et supérieure ou égale à 2).
Un nombre décimal est le quotient d'un nombre entier relatif par une puissance de 10 et c'est aussi un nombre dont la partie décimal s'écrit avec un nombre fini de chiffres non nuls Un nombre rationnel est le quotient d'un nombre entier relatif par un nombre entier relatifs non nul Un nombre irrationnel est un nombre ...
L'adjectif rationnel qualifie ce qui s'appuie sur la seule raison, ce qui résulte uniquement d'un enchaînement logique, faisant abstraction de toute considération de sentiment, d'intérêt, d'opportunité,... qui ne soient pas déjà adoptés dans un système reconnu par la raison.
Ils ne peuvent pas s'écrire sous la forme d'une fraction. Définition : Un nombre réel est un nombre rationnel ou irrationnel. L'ensemble des nombres réels est noté ℝ.
Il existe des nombres irrationnels non terminaux et non répétitifs, dont le plus notable est pi. Deux exemples sont pi (3,14159…) et la racine carrée de 2 (1,4142135…). Quel que soit le nombre de chiffres que l'on calcule, aucun d'eux ne se termine ou ne se répète.
Le symbole utilisé pour désigner l'ensemble des nombres rationnels est la lettre Q.
Les nombres naturels représentent tous les nombres entiers positifs, incluant le 0. 0. Les nombres entiers sont les nombres qui n'ont pas de partie décimale ou dont la partie décimale est nulle.
2 est l'inverse de 0,5.
Écrivons √2 sous la forme d'une fraction irréductible (on peut imaginer que l'on simplifie ab si nécessaire). On obtient alors √2=pq où p et q sont des nombres entiers relatifs qui sont premiers entre eux. De l'égalité √2=pq, on déduit (en élevant au carré) que 2=p2q2 et donc que p2=2q2.
(il existe de nombreuses démonstrations de cette égalité, comme par exemple : en appelant x le nombre 0,999999999 : 10x = 9 + x d'où le résultat). En revanche la condition est suffisante : « si un nombre s'écrit avec un nombre fini de chiffres après la virgule, alors il est décimal ».
= 1 est un nombre décimal et il admet une écriture décimale avec une infinité de chiffre apr`es la virgule.
Le nombre 0,25 est un nombre décimal à développement fini dont la forme ab est 14. Il s'agit donc aussi d'un nombre rationnel.
La racine carrée de deux, notée √2 (ou parfois 21/2), est définie comme le seul nombre réel positif qui, lorsqu'il est multiplié par lui-même, donne le nombre 2, autrement dit √2 × √2 = 2. C'est un nombre irrationnel, dont une valeur approchée à 10–9 près est : √2 ≈ 1,414 213 562.
L'ensemble des nombres entiers, représenté par le symbole Z, regroupe tous les nombres naturels (entiers positifs) et leurs opposés (entiers négatifs). Z={…,−3,−2,−1,0,1,2,3,…} Z = { … , − 3 , − 2 , − 1 , 0 , 1 , 2 , 3 , … }
Raisonnement par l'absurde, on suppose 1/3 décimal. Donc 1/3 est de la forme a/10^n avec a entier positif. Donc 3a=10^n avec a entier positif. Donc 10^n est un multiple de 3.