Solution de l'exercice 7. Q est dénombrable. Tout rationnel s'écrit de façon unique comme fraction réduite x = p/q o`u q ≥ 1 et p ∧ q = 1. L'application f : Q ↦→ Z × N, f(x) = (p, q) est injective, c'est une bijection sur son image, un sous-ensemble de Z × N.
L'ensemble des entiers relatifs Z est dénombrable. Pour cela, on considère f:Z→N f : Z → N telle que f(n)=2n f ( n ) = 2 n si n≥0 n ≥ 0 et f(n)=−(2n+1) f ( n ) = − ( 2 n + 1 ) si n<0 et on vérifie que f est une bijection de Z sur N.
L'ensemble N, qui est en bijection avec par exemple N*, est donc infini, et de même tout ensemble dénombrable est infini.
Pour démontrer que ℝ est non dénombrable, il suffit de démontrer la non-dénombrabilité du sous-ensemble [0, 1[ de ℝ, donc de construire, pour toute partie dénombrable D de [0, 1[, un élément de [0, 1[ n'appartenant pas à D. Soit donc une partie dénombrable de [0, 1[ énumérée à l'aide d'une suite r = (r1, r2, r3, … ).
Exemples. L'ensemble N des entiers est bien sûr dénombrable. L'ensemble N × N, des couples (i,j) d'entiers est également dénombrable. Pour le montrer, il faut donner une suite x0, x1, x2, ... de couples distincts qui parcourent tout l'ensemble N × N.
Pour éviter les paradoxes, zfc impose quelques contraintes qui sont devenues des vérités mathématiques absolues : il n'y a pas d'ensemble de tous les ensembles, un ensemble ne peut pas être élément de lui-même, il n'y a pas d'ensemble de tous les ordinaux, ni d'ensemble de tous les cardinaux, etc.
Les noms indénombrables représentent des choses que nous ne pouvons pas compter avec des chiffres. Ces noms désignent souvent des idées ou des qualités abstraites, ou des objets physiques qui sont trop petits ou trop fluides pour être comptés un par un (des liquides, des poudres, des gaz, etc.).
Le R², ou R-carré est appelé coefficient de détermination. C'est un indicateur utilisé en statistiques pour juger de la qualité d'une régression linéaire.
Qu'est-ce qu'un dénombrable ? C'est un nom que l'on peut “dénombrer”, c'est-à-dire que l'on peut compter. En anglais d'ailleurs, on parle de “countable”. Un “countable noun”, c'est un nom que l'on peut compter.
Ainsi, on utilise many uniquement avec les noms dénombrables et much uniquement avec les noms indénombrables.
_ On écrit ou quand on peut le remplacer par ou bien. exemple : Posez-le sur la table ou la chaise = posez-le sur la table ou bien sur la chaise. _ On écrit où quand il indique le lieu ou le temps. exemple : Où allez-vous ?
c) pour exprimer une quantité, on est obligé d'utiliser un terme qui en extrait une partie, comme : some (du/ de la), a lot of (beaucoup), a piece of (un morceau / une partie), a bit of (un peu de), a great deal of (une grande quantité de)... Exemples : They've got a lot of furniture. Ils ont beaucoup de meubles.
Les nombres naturels, représentés par N , regroupent tous les nombres entiers compris entre 0 inclusivement et l'infini positif. On utilise parfois l'appellation nombres entiers naturels pour désigner cet ensemble. Les nombres naturels représentent tous les nombres entiers positifs.
Élément neutre (noté 0) des groupes additifs. 6. Cardinal de l'ensemble vide.
Par exemple, ℝ* est l'ensemble des nombres réels privé de 0. Tous les nombres de l'ensemble des entiers naturels ℕ appartiennent à l'ensemble des entiers relatifs ℤ. On dit que l'ensemble ℕ est inclus dans l'ensemble ℤ.
Many s'utilise pour les noms dénombrables. Many friends(beaucoup d'amis). Much s'emploie pour les noms indénombrables. Much patience (beaucoup de patience).
L'une des versions du paradoxe de Russell, connue sous le nom de « Paradoxe du barbier », met en scène un village dont, chaque jour, le barbier rase uniquement ceux qui ne se rasent pas eux-mêmes, et seulement ceux-ci.
Le paradoxe a l'apparence d'une vérité, mais il renferme pourtant une contradiction ou un conflit. Un exemple de paradoxe bien connu est le paradoxe du menteur : "J'affirme que je mens." Cette phrase est éminemment paradoxale, puisque son sens littéral semble s'annuler de lui-même.
Être, chose ou fait qui paraissent défier la logique parce qu'ils présentent des aspects contradictoires : Cette victoire du plus faible, c'est un paradoxe. 3. En logique, synonyme de antinomie.
Le symbole Q désigne l'ensemble des nombres rationnels. Tous les nombres naturels, entiers et décimaux sont des nombres rationnels.
Le plus petit nombre entier n'existe pas. En effet, les nombres entiers sont les nombres entiers relatifs, qui incluent les nombres entiers négatifs, jusqu'à la limite de l'infini négatif. En revanche, le plus petit des nombres entiers naturels est 0, et le plus petit nombre entier naturel non nul est 1.
√2 et π sont des exemples de nombres qui ne peuvent pas s'exprimer sous la forme ab et dont le développement décimal est infini et non-périodique. Il ne font donc pas partie de l'ensemble des nombres rationnels. Ce sont des nombres irrationnels.
SOME est employé dans les constructions affirmatives et/ou interrogatives, mais très rarement dans les constructions négatives. ANY est employé dans les constructions négatives et/ou interrogatives, mais très rarement dans les constructions affirmatives : Did you hear? There are some lions at the zoo!