Ceci tient au fait que ℝ* = ℝ\{0} n'est pas un intervalle.
Un intervalle est un sous-ensemble de ℝ contenant tous les nombres réels compris entre deux nombres réels distincts ���� et ����. Les bornes (extrémités) ���� et ���� peuvent être incluses ou exclues de l'intervalle.
Par exemple, ℝ* est l'ensemble des nombres réels privé de 0. Tous les nombres de l'ensemble des entiers naturels ℕ appartiennent à l'ensemble des entiers relatifs ℤ.
L'ensemble des réels non nuls est noté (se dit « étoile »). Ce n'est pas un intervalle, car il y a un trou en 0.
"Ouvert" et "fermé" n'ont de sens que par rapport à un espace ambient. R est ouvert dans R et fermé dans R. Tout espace topologique X est fermé dans X et ouvert dans X. Pour la topologie usuelle sur R, les seuls ouverts-fermés sont ∅ et R.
Attention, il existe des ensembles à la fois ouverts et fermés. Par exemple R et ∅. Les phrases du type : cet ensemble n'est pas ouvert car il est fermé n'a donc aucun sens . Et bien sûr il existe des ensembles ni ouverts ni fermés, comme [0, 1[, ou même Q et R − Q.
a) Lorsque le crochet entour le nombre, on dit qu'il est fermé, dans le cas contraire on dit qu'il est ouvert. Par exemple, [2;3[ est fermé en 2 (mais ouvert en 3), cela veut dire qu'il contient 2 mais pas 3 ! ] 2;3] est fermé en 3 (mais ouvert en 2), cela veut dire qu'il contient 3 mais pas 2.
Si R est l'ensemble des réels, et R+ des réels positifs, R+ est un subset de R mais les deux ont une taille infinie.
Pour simplifier l'écriture de certains intervalles, on utilise des notations particulières. Ainsi, $\mathbb{R}^+$ correspond à l'ensemble des nombres réels positifs, que l'on peut aussi noter $[0; +\infty [$. $\mathbb{R}^-$ correspond à l'ensemble des nombres réels négatifs, que l'on peut aussi noter $]- \infty; 0]$.
Est-ce que 0 appartient à R ? 0 est un nombre réel, donc il appartient à R.
On note R∗ l'ensemble des nombres réels dont on a enlevé le nombre 0. 0. On note R+ l'ensemble des nombres réels positifs. On note R− l'ensemble des nombres réels négatifs.
L'ensemble ℕ vient de l'appellation naturale attribuée à Peano. Il désigne l'ensemble des nombres entiers naturels (exemples : 0 1 2 3 7). Si l'on note ℕ*, cela signifie que l'on exclut le zéro. L'ensemble ℤ vient de l'allemand zahlen qui signifie compter.
L'ensemble des nombres entiers, représenté par le symbole Z, regroupe tous les nombres naturels (entiers positifs) et leurs opposés (entiers négatifs). Z={…,−3,−2,−1,0,1,2,3,…} Z = { … , − 3 , − 2 , − 1 , 0 , 1 , 2 , 3 , … }
On appelle un intervalle l'ensemble des nombres réels compris entre deux nombres réels a et b, ou de manière équivalente l'ensemble des points sur la droite dont la marque est entre a et b. Exemple : l'intervalle [ 2 ; 5 ] est l'ensemble des nombres réels x tels que 2 ≤ x, et x ≤ 5. Bornes incluses ou exclues.
Intervalles justes
La quarte, la quinte et l'octave peuvent être qualifiées de justes : la quarte juste fait exactement 2 tons et 1 demi-ton, la quinte juste fait exactement 3 tons et 1 demi-ton, l'octave juste fait exactement 5 tons et 2 demi-tons.
L'intervalle de tous les nombres entre a et b, y compris a et b, est noté comme [a,b] et si a et b sont exclus, il est noté comme ]a,b[. On peut également remplacer la virgule par un point-virgule dans les pays où les virgules sont utilisées pour écrire des nombres décimaux.
Pour déterminer l'intersection de deux intervalles, on représente ces deux intervalles sur le même axe gradué et on repère les points du premier intervalle plus tous les points du second intervalle.
La raison d'une suite arithmétique, dont le premier terme u1 est égal à a , est donnée par la formule : r=un−an−1 r = u n - a n - 1 .
dans ℝ, on procède comme suit : • on nomme l'inconnue ; on met le problème en équation ou en inéquation ; • on résout l'équation ou l'inéquation ; • on conclut en interprétant le résultat trouvé.
Certains nombres comme π ou √2 ne peuvent s'exprimer comme des fractions, l'ensemble R contenant ces nombres n'a été inventé qu'à la fin du 19ième siècle par les mathématiciens Cantor et Dedekind.
Les ensembles de la forme {x ∈ R|P(x)} sont appelées parties de R. Ce sont donc les éléments de l'ensemble des parties de R, qu'on note P(R). Comme ces parties sont des ensembles, on doit dire quels sont leurs éléments.
Ces variantes sont équivalentes à la compacité dans un espace métrique. Le nom « propriété de Borel-Lebesgue » rend hommage aux mathématiciens français Émile Borel et Henri Lebesgue, car le théorème homonyme établit que tout segment de ℝ est compact et, plus généralement, que les compacts de ℝn sont les fermés bornés.
— Un ensemble O est ouvert de (X, d) si et seulement si pour toute suite (xn)n≥1 ⊂ X telle que xn −→ x ∈ O, il existe n0 tel que xn ∈ O pour tout n ≥ n0. — Un ensemble F est fermé de (X, d) si et seulement si pour toute suite conver- gente (xn)n≥1 ⊂ F on a limn→∞ xn ∈ F.