Toute suite croissante et majorée converge vers sa borne supérieure. Toute suite décroissante et minorée converge vers sa borne inférieure.
1/ Limite finie d'une suite : définition
Définition : La suite (un) admet le réel pour limite si : Tout intervalle ]a ; b[ contenant , contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang. On dit alors que la suite est convergente.
Les suites 'monotones' sont les suites croissantes ou décroissantes. Les suites 'strictement monotones' sont les suites strictement croissantes ou strictement décroissantes. Une suite est dite 'stationnaire' ou 'constante' si tous ses termes sont égaux.
Si les suites (un) et (wn) convergent vers une même limite finie l, alors la suite (vn) est convergente et converge vers cette même limite l. un = l. Si (un) est une suite bornée et si (vn) est une suite convergente vers 0, alors la suite (unvn) converge vers 0.
Définitions : On dit qu'une suite ( )un est divergente lorsque qu'elle ne converge pas. Une suite divergente est donc une suite qui n'admet par de limite ou qui admet +õ ou –õ comme limite.
La notion naturelle de convergence pour une suite de fonctions (fn) est celle que l'on a vue pour les courbes représentatives. On veut pouvoir dire que la suite de fonctions (fn) converge vers f lorsque la courbe représentative de la fonction fn se rapproche, quand n tend vers l'infini, de celle de f.
On dit qu'une suite un converge vers un réel L si pour tout intervalle ouvert U contenant L, tous les termes de la suite appartiennent à U sauf un nombre fini. L est la limite de la suite un et elle est unique. Une suite est divergente si elle n'est pas convergente.
un = −∞. Si r = 0, la suite (un) est constante égale à u0 et converge donc vers u0.
une suite bornée n'est pas nécessairement convergente (contre-exemple : un = (–1)n est bornée — majorée par 1 et minorée par –1 — mais n'admet pas de limite) ; pour qu'une suite tende vers ±∞, il ne suffit pas qu'elle soit non bornée (contre-exemple : la suite qui vaut 0 pour n pair, et n pour n impair).
En mathématiques, une suite est une famille d'éléments — appelés ses « termes » — indexée par les entiers naturels. Une suite finie est une famille indexée par les entiers strictement positifs inférieurs ou égaux à un certain entier, ce dernier étant appelé « longueur » de la suite.
Si le signe de la différence est positif ou nul pour tout n, la suite est croissante. Si le signe de la différence est négatif ou nul pour tout n, la suite est décroissante. Si la différence change de signe en fonction de la valeur de n, la suite n'est pas monotone.
(Mathématiques) Qualifie une fonction à une seule variable, qui n'est pas continue ou uniquement croissante ou décroissante dans un intervalle donné. Cette fonction est caractérisée par une courbe en forme de "U", elle est donc non-monotone.
On dit qu'une fonction f est monotone ssi elle est soit croissante soit décroissante. La fonction carré x ↦→ x2 n'est pas monotone : en effet, bien qu'elle soit ”tantôt croissante, tantôt décroissante”, elle n'est ni croissante ni décroissante.
En mathématiques, une série est dite convergente si la suite de ses sommes partielles a une limite dans l'espace considéré. Dans le cas contraire, elle est dite divergente.
Si une suite (un) est croissante et admet une limite "l" alors elle est majorée et "l" est un majorant. Par ailleurs son premier terme est celui qui la plus petite valeur donc cette suite est aussi minorée et le premier terme est un minorant: Une suite croissante qui converge est une suite bornée.
Une suite (un) est majorée s'il existe un nombre M tel que, pour tout entier naturel n, u n ≤ M u_n \leq M un≤M. M est appelé le majorant de (un).
Sens de variation, convergence et majoration/minoration
Si une suite est croissante et converge vers L L L, alors elle est majorée par L L L. Si une suite est décroissante et converge vers L L L, alors elle est minorée par L L L.
On dit qu'une suite (un)n∈N d'éléments de K converge vers l ∈ K si : pour tout ε > 0, il existe N ∈ N tel que, pour tout n ≥ N, on ait |un − l| ≤ ε ou, avec des quantificateurs, ∀ε > 0,∃N ∈ N,∀n ≥ N,|un − l| ≤ ε On dit qu'une suite diverge si elle ne converge pas.
Un+1 - Un = [5n + 5 + 3] - [5n +3]. Un+1 - Un = [5n + 8] - [5n +3]. Un+1 - Un = 5n + 8 - 5n - 3 Un+1 - Un = 5. La différence Un+1 - Un est un réel ne dépendant pas de n (constant), donc la suite (Un) est arithmétique de raison r=5 et de premier terme U0= 3.
(L'unité de convergence est le m−1 ou dioptrie.)
Pour démontrer qu'une suite (un) est divergente, on peut trouver deux suites extraites de (un) qui convergent vers des valeurs différentes; on peut la minorer par une suite tendant vers +∞ .
Si la suite est convergente, on dit que la série de terme général (ou série ∑ u n ) est convergente. La limite, notée , de la suite est la somme de la série ∑ u n . On écrit alors : s = ∑ 0 + ∞ u n .
Pour montrer que ( ) ne converge pas uniformément sur vers , il suffit de trouver une suite ( ) de points de telle que la suite ( f n ( x n ) − f ( x n ) ) ne tende pas vers 0 lorsque tend vers .
L'étude de la convergence simple revient à étudier la convergence des suites $(f_n(x))_{n\geq 1}$, lorsque $x\geq 0$ est fixé. Mais $x$ étant fixé, puisque $1+x>0$, on a clairement $f_n(x)$ qui tend vers $1/(1+x)$.
Un critère de convergence normale
La série ( ∑ f n ) converge normalement sur si et seulement si : il existe une série numérique à termes positifs convergente ( ∑ a n ) ; ( ∀ n ∈ N ) ( ∀ x ∈ I ) | f n ( x ) | ≤ a n .