Une application linéaire de E dans E s'appelle aussi un endomorphisme de E . Exemples : L'application idE:E→E i d E : E → E , x↦x x ↦ x , est linéaire et s'appelle l'application identité de E .
Si F = K on dit que f est une forme linéaire. Si F = E, f est appelée un endomorphisme. Pour montrer que f est une application linéaire, il suffit de vérifier que f(u + λv) = f(u) + λf(v) pour tous u, v ∈ E,λ ∈ K.
En mathématiques, un endomorphisme est un morphisme (ou homomorphisme) d'un objet mathématique dans lui-même. Ainsi, un endomorphisme d'espace vectoriel E est une application linéaire f : E → E, et un endomorphisme de groupe G est un morphisme de groupes f : G → G, etc.
Une fonction linéaire est une fonction qui, à tout nombre x, associe le nombre ax , où a étant un nombre quelconque donné. a est appelé le coefficient de la fonction linéaire. On notera cette fonction de manière équivalente : ou f : x → ax ou f(x) = ax.
On appelle fonction linéaire toute fonction f dont l'expression peut s'écrire sous la forme f (x) = a x où a est une constante. * On considère deux grandeurs x et y telles que : y soit proportionnelle à x. En conséquence, il existe un nombre a tel que : y = a x.
Une équation linéaire à une inconnue x est une équation de la forme ax + b = 0 où a et b sont des réels (ou des complexes). Les réels a et b sont appelés des coefficients, a est le coefficient devant x et b le coefficient constant. On appelle aussi cette équation, une équation du premier degré à une inconnue.
Pour montrer que φ induit sur Rn[X] un endomorphisme, il faut montrer la linéarité de φ et montrer que l'image de Rn[X] est incluse dans Rn[X]. Linéarité de φ Soient P et Q deux polynômes de R[X] et λ ∈ R, on a : φ(P + λQ) = P + λQ − (P + λQ)′ = P + λQ − P′ − λQ′ = P − P′ + λ (Q − Q′) .
On dit que : • f est un endomorphisme si E = F ; f est un isomorphisme si elle est linéaire bijective ; • f est un automorphisme si c'est un endomorphisme bijectif. f est une forme linéaire si F = K. On note L(E,F) l'ensemble des applications linéaires de E dans F.
On considère Mn(R) muni du produit scalaire 〈A,B〉 = Tr(tAB). On vérifie que ϕ : M ∈ Mn(R) → tM ∈ Mn(R) est un endomorphisme symétrique.
c) Représentation graphique On considère un repère du plan. * Si une fonction est linéaire, alors sa représentation graphique est une droite qui passe par l'origine. * Réciproquement, si la représentation graphique d'une fonction est une droite qui passe par l'origine du repère, alors cette fonction est linéaire.
u(e1+ei)=u(e1)+u(ei)=λ1e1+λiei. λ1=α=λi. Ainsi, si un endomorphisme à une représentation matricielle diagonale dans toutes les bases de E, sa matrice est de la forme λIn et donc cet endomorphisme est de la forme λIdE.
On appelle noyau de A, et on note Ker (A), le noyau de l'endomorphisme canoniquement associé à A, c'est à dire sous-espace vectoriel de Mn,1(R) défini par : Ker (A) = {X ∈ Mn,1(R) | AX = 0}. Le rang d'une matrice est alors égale au rang de la famille de vecteurs constituée de ses colonnes.
Si pour chaque valeur propre, la dimension du sous-espace propre est égale à la multiplicité de la valeur propre comme racine de CA , alors la matrice est diagonalisable, et une base de vecteurs propres est donnée en prenant la réunion des bases trouvées pour chaque sous-espace propre.
On dit que est diagonalisable s'il existe une base de telle que la matrice de par rapport à cette base soit diagonale.
Montrer que l'endomorphisme u est continu si, et seulement si, l'ensemble {x∈E|∥u(x)∥=1} est une partie fermée de E. est l'image réciproque du fermé {1} par l'application continue f=∥⋅∥∘u. La partie A est donc un fermé relatif à E, c'est donc une partie fermée de E.
Sur un corps de caractéristique nulle, un endomorphisme u d'un espace de dimension n est nilpotent si et seulement si pour tout entier p compris entre 1 et n, up possède une trace nulle. Cela résulte des identités de Newton.
Pour déterminer ses valeurs propres il faut, d'après la caractérisation précédente, chercher les éléments de , tels que det ( f − λ I d E ) = 0 . Pour cela il est naturel d'écrire la matrice associée à dans la base canonique et de calculer det ( A − λ I 2 ) qui est égal à det ( f − λ I d E ) .
Soit u∈L(E) u ∈ L ( E ) . Alors : L'endomorphisme u est un projecteur de E si et seulement si u2=u u 2 = u . L'endomorphisme u est une symétrie de E si et seulement si u2=IdE u 2 = I d E .
Démonstration : si f est bijective, alors elle est injective. On a alors Ker f = {0} et, d'apr`es le théor`eme du rang, dim E = rg f = dim Im f. Comme Im f ⊂ F et que dim E = dim F, on en déduit que Im f = F et f est surjective.
— L'endomorphisme u est cyclique si et seulement si E est un espace cyclique. — Si F est cyclique, alors πu|F = χu|F . Proposition 2.3 (Cayley–Hamilton). Soit u ∈ L(E).
Une condition nécessaire et suffisante pour qu'une application linéaire de dans soit un automorphisme est que la matrice associée à dans une base quelconque de soit inversible. De plus, si est un automorphisme de et si A = [ f ] B E , la matrice de dans la base est égale à , inverse de la matrice .
Équation non linéaire,
équation de la forme f (x) = 0 lorsque f (x) n'est pas de la forme ax + b. (Cette notion s'étend aux équations et systèmes d'équations non linéaires à plusieurs inconnues.)
Deux formes linéaires non nulles ont le même noyau si et seulement si elles sont proportionnelles avec un coefficient de proportionnalité non nul. 4. Tout hyperplan est le noyau d'une forme linéaire ϕ (définie à une constante de proportionnalité près). L'équation linéaire ϕ(x) = 0 est appelée une équation de H.
Approche graphique de la méthode : On choisit « arbitrairement » une première valeur de B (le zéro par exemple) et on remplace la courbe par sa tangente, on calcule alors facilement (avec l'équation de la droite) une seconde valeur de B. En réitérant la méthode, on s'approche alors de la valeur de B recherchée.