Les nombres rationnels peuvent être représentés comme un quotient de deux nombres entiers. Ils sont exprimés sous la forme d'une fraction a / b, où a et b sont des nombres entiers et b est différent de zéro.
Les nombres décimaux
Les décimaux sont formés d'une partie entière et d'une partie décimale dont le nombre de chiffres après la virgule est fini. Ce sont les nombres qui peuvent s'écrire sous la forme d'une fraction décimale donc les décimaux sont des nombres rationnels.
Nombre entier
Tous les nombres entiers sont donc des nombres rationnels. Le nombre entier "3" est un nombre rationnel.
N'importe quelle fraction peut représenter un nombre rationnel. Le nombre 1015 est une fraction qui est équivalente à 23. L'expression 43 représente un nombre rationnel. Le nombre décimal 0,75 est aussi un nombre rationnel puisqu'on peut l'exprimer sous la forme du quotient de deux nombres entiers, soit 34.
Raisonnement par l'absurde, on suppose 1/3 décimal. Donc 1/3 est de la forme a/10^n avec a entier positif. Donc 3a=10^n avec a entier positif. Donc 10^n est un multiple de 3.
Nombre rationnel
3,14 ; 5 ; -3,2 et -7 sont des nombres rationnels. Le nombre \pi est un nombre irrationnel, c'est-à-dire non rationnel.
Les nombres rationnels peuvent être représentés comme un quotient de deux nombres entiers. Ils sont exprimés sous la forme d'une fraction a / b, où a et b sont des nombres entiers et b est différent de zéro.
Un nombre est rationnel si et seulement si son développement en fraction continue est fini. Cette méthode est à l'origine des premières démonstrations de l'irrationalité de la base e du logarithme népérien et de π. (où l'on a des séquences de '2' de plus en plus longues) est irrationnel car il n'y a pas de période.
Définition : Un nombre irrationnel est un nombre qui ne peut pas s'écrire à l'aide d'une fraction. Exemples : √2, √3 ou encore sont des nombres irrationnels. Ils ne peuvent pas s'écrire sous la forme d'une fraction. Définition : Un nombre réel est un nombre rationnel ou irrationnel.
Les nombres irrationnels, représentés par Q′ ,sont les nombres dont le développement décimal est infiniet non périodique. Ces nombres ne peuvent pas s'exprimer comme le quotient de deux entiers.
L'ensemble ℚ a été défini par Peano, il vient de l'italien quotiente (la fraction). Il définit l'ensemble des nombres rationnels (exemples : -3 -2,5 0 1,25 1/3 2,666). Le nombre peut être décimal limité (3/4 = 0,75) ou périodique (2/3 = 0,666...). ℤ est inclus dans ℚ.
Un nombre rationnel est un nombre qui peut s'écrire sous la forme d'une fraction, c'est-à-dire sous la forme du quotient de deux nombres entiers. Un nombre entier est un nombre rationnel. Il peut s'écrire sous la forme d'une fraction dont le dénominateur est égal à 1. Un nombre décimal est un nombre rationnel.
Non, l'ensemble des entiers naturels n'est pas inclus dans Q car certains entiers naturels, tels que 3 et 5, ne peuvent pas être exprimés sous forme de fraction de deux entiers.
Ils sont donc tous les deux divisibles par 2 et ne sont donc pas premiers entre eux (car ils ont un diviseur commun différent de 1 et −1). Ceci est une contradiction (étape n°2). Ainsi, √2 ne peut pas être un nombre rationnel ; c'est donc un nombre irrationnel.
(Les éléments de ℚ sont les nombres égaux au quotient d'un entier relatif a par un entier relatif non nul b, noté à l'aide des notations fractionnaires .)
Pour comparer deux nombres rationnels, il faut écrire les deux fractions sur le même dénominateur et ensuite comparer leur numérateur. Ranger des nombres rationnels, c'est les classer dans l'ordre croissant ou décroissant en comparant deux à deux ces nombres rationnels.
Un nombre rationnel est un nombre qui s'exprime comme le quotient de deux nombres entiers. Ainsi, 2013, 3/2, -2/3, 1/100 sont rationnels alors que la racine carrée de 2 ou Pi sont irrationnels.
Les nombres irrationnels sont des nombres réels qui ne peuvent pas être exprimés sous la forme d'une simple fraction et dont le développement décimal ne peut pas se terminer ou se répéter. Examinons les nombres énoncés ci-dessous: 2 est un nombre entier, ce n'est donc pas un nombre irrationnel.
Les nombres naturels 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 [...], les entiers relatifs [...] -3 ; -2 ; -1 ; 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 [...], les nombres rationnels (1/2, -3/4 par exemple) sont aussi des nombres réels.
Un nombre décimal est le quotient d'un nombre entier relatif par une puissance de 10 et c'est aussi un nombre dont la partie décimal s'écrit avec un nombre fini de chiffres non nuls Un nombre rationnel est le quotient d'un nombre entier relatif par un nombre entier relatifs non nul Un nombre irrationnel est un nombre ...
Par contre, le nombre 1/3 = 0,3333333... n'est pas décimal, puisque qu'il a une infinité de 3 après la virgule.
Le nombre π est irrationnel, c'est-à-dire qu'on ne peut pas l'exprimer comme un rapport de deux nombres entiers ; ceci entraîne que son écriture décimale n'est ni finie, ni périodique.
2. Qui est conforme à la raison, repose sur une bonne méthode : Organisation rationnelle du travail. 3. Qui paraît logique, raisonnable, conforme au bon sens ; qui raisonne avec justesse : Un esprit rationnel.
Les nombres réels, représentés par R , sont tous les nombres qui appartiennent à l'ensemble des nombres rationnels ou à l'ensemble des nombres irrationnels. L'ensemble des nombres réels correspond à l'union des ensembles rationnels (Q) et irrationnels (Q′) .
Le symbole Q désigne l'ensemble des nombres rationnels. Tous les nombres naturels, entiers et décimaux sont des nombres rationnels.