En géométrie analytique, les solutions d'une équation E d'inconnues x et y peuvent être interprétées comme un ensemble de points M(x, y) du plan affine, rapporté à un repère cartésien. Quand ces points forment une courbe, on dit que E est une équation cartésienne de cette courbe.
Contrairement aux équations réduites, les équations cartésiennes permettent de décrire la totalité des différentes droites du plan y compris celles qui sont verticales. Toute droite peut être définie à partir de deux points mais on peut aussi la définir à partir d'un point et un vecteur directeur.
Une équation cartésienne de droite est de la forme ax+by+c=0. On peut déterminer une équation cartésienne de la droite \left(d\right) lorsque l'on connaît un point de la droite et un vecteur directeur de la droite.
Pour prouver ces affirmations, René Descartes rapporte des points d'une même courbe à deux axes mais de même origine grâce au système de coordonnées aujourd'hui appelé coordonnées cartésiennes.
Les coordonnées cartésiennes ont été imaginées par Descartes au XVII e siècle et ont été largement utilisées par la suite en mécanique newtonienne pour décrire l'espace physique selon trois dimensions (souvent symbolisées par les lettres x, y, z).
Un repère cartésien est constitué d'un point appelé origine et d'une base de vecteurs. Il facilite ainsi la représentation graphique de données, par projection d'un nuage de points sur les axes principaux d'une analyse en composantes principales par exemple.
En coordonnées Cartésiennes, chaque point a une représentation unique. Alors que, en coordonnées polaires, chaque point a une infinité de représentations. Par exemple, le point (1, 5π/4) de l'exercice précédent peut aussi s'écrire : (1, –3π/4), (1, 13π/4), or (–1, π/4).
En effet, la valeur du raisonnement cartésien s'objective dans la clarté et la dis- tinction de l'intuition et la déduction, qui possèdent le pouvoir (que rien ne saurait limiter) d'éclairer, d'illuminer l'esprit. Ainsi, le «grand livre du monde» se donne à lire à proportion des qualités de la raison attentive.
La découverte fondamentale de Descartes en physique est celle de la loi de la réfraction, contenue dans Le Discours second de la Dioptrique.
Pour déterminer une équation cartésienne d'un plan passant par A et de vecteur normal \vec{n}, on peut : donner la forme générale de l'équation : ax + by + cz + d = 0 ; remplacer les coefficients a, b, c par les coordonnées du vecteur \vec{n} ; déterminer ensuite la valeur de d à l'aide des coordonnées du point A.
Deux droites (d) et (d') sont parallèles si tout vecteur directeur de l'une est aussi vecteur directeur de l'autre. En effet, si est une équation cartésienne de (d), alors pour tout réel non nul, est une autre équation de la même droite.
Pour passer d'une équation cartésienne à une équation paramétrique d'un plan, on exprime une variable en fonction des 2 autres qu'on appelle t et t′. Pour passer d'une équation paramétrique à une équation cartésienne d'un plan, on fait disparaitre les t et les t′ de la paramétrisation par des combinaisons.
Conclusion: Si f est une fonction dérivable sur un intervalle contenant un réel a, la tangente à la courbe représentative de f au point d'abscisse a a pour équation: y = f(a) + f′(a)(x - a) .
La méthode cartésienne est tout entière un art de l'ordre, de la mise à portée de l'esprit d'objets bien disposés. C'est cette mise en ordre qui va rendre possible des actes d'intuition et de déduction et donc permettre d'établir, de façon très assurée, de nouvelles connaissances.
Le postulat d'origine de la pensée cartésienne est que la raison permet d'accéder à la connaissance. L'intelligence doit être mise à profit pour développer celle-ci. Ensuite, le fait de penser est le propre de l'homme, sans oublier qu'il peut aussi avoir une intelligence émotionnelle qui est propre à chacun.
Relatif à René Descartes. 2. Se dit de quelqu'un à l'esprit rationnel, rigoureux et quelque peu formaliste : Il est très cartésien dans toutes ses idées.
Exemples : un esprit pas cartésien , un avis pas cartésien . Ensuite, ses autres contraires qualifient une façon de penser qui manque de logique, de rigueur : irrationnel , illogique , incohérent , confus , obscur .
règles de la méthode de Descartes. Dans le Discours de la méthode, Descartes énonce quatre règles : la règle d'évidence, la règle de l'analyse (division du complexe en éléments simples), la règle de l'ordre (ou de la synthèse), la règle du dénombrement (ou de l'énumération).
La pensée cartésienne reste très analytique, et manque du caractère holistique qui est aujourd'hui nécessaire pour résoudre des problèmes globaux, en systémique par exemple. L'esprit « cartésien » peut ainsi faire trop appel à une forme déductive de raisonnement, et pas assez à son intuition et à l'induction.
Descartes estime que c'est Dieu qui rend possible la vérité.
La connaissance de Dieu et de l'âme (les objets traditionnels de la métaphysique) valide ainsi les critères de la clarté et de la distinction. Du coup, peu importe qu'on rêve, tant que les idées qu'on conçoit sont claires et distinctes.
Descartes commença donc par élaborer une méthode qu'il voulait universelle, aspirant à étendre la certitude mathématique à l'ensemble du savoir, et espérant ainsi fonder une mathesis universalis, une science universelle. C'est l'objet du Discours de la méthode (1637).
La formule de Descartes peut être exprimée comme suit: Soit P(x) = anxn + an-1xn-1 + … + a1x + a0, une équation polynomiale à coefficients réels. Le nombre de racines positives de P(x) est égal au nombre de changements de signe dans la séquence des coefficients de P(x) ou est moins que cela par un nombre pair.
Les coordonnées cartésiennes sont des coordonnées de type (x,y) qui permettent de situer un point dans un plan cartésien par rapport à un point d'origine.
Le changement de base/référentiel utilisant des coordonnées cartésiennes (x,y) vers un autre référentiel utilisant des coordonnées polaires (r,θ) obéit aux équations : r=√x2+y2θ=2arctan(yx+√x2+y2) r = x 2 + y 2 θ = 2 arctan ( y x + x 2 + y 2 ) avec arctan la réciproque de la fonction tan (tangente).
Coordonnées cartésiennes (x,y) et coordonnées polaires (ρ,θ) sont liées par x = ρ . cos θ et y =ρ . sin θ.