Considérons la somme partielle de 1 à n. Elle est supérieure à l'intégrale de 1/x de 1 à n+1. Cette intégrale est égale à ln(n+1) qui diverge quand n tend vers l'infini, donc la série diverge.
Proposition 1.
qk converge. Si |q| ⩾ 1, alors la suite (qn) n'a pas de limite finie (elle peut tendre vers +∞, par exemple si q = 2 ; ou bien être divergente, par exemple si q = −1). Donc si |q| ⩾ 1, (Sn) n'a pas de limite finie, donc la série ∑k李0 qk diverge.
1 n(n + 1) converge et a pour somme 1. n diverge.
Par contre voilà ce qu'on peut dire : Comme la suite 1/n tend vers 0 quand n → ∞, la suite un est convergente si et seulement si la suite (−1)n l'est. De plus, dans le cas où elles sont toutes les deux convergentes, elles ont même limite.
En mathématiques, une série infinie est dite divergente si la suite de ses sommes partielles n'est pas convergente. En ce qui concerne les séries de nombres réels, ou de nombres complexes, une condition nécessaire de convergence est que le terme général de la série tende vers 0.
Si une série converge, son terme général tend vers 0. Dans le cas où le terme général ne tend pas vers 0, on dit que la série diverge grossièrement.
S n = ∑ k = 0 n u k . On dit que la série ∑un ∑ u n converge si la suite de ses sommes partielles (Sn) est convergente. On dit qu'elle diverge dans le cas contraire. Dans le cas de la convergence, on note +∞∑k=0uk=limn→+∞Sn.
On dit qu'une suite est divergente et tend vers +∞ si, pour tout nombre réel A, à partir d'un certain rang, tous les termes de la suite sont supérieurs à A.
Exemple : La série s'appelle série harmonique. On prouve qu'elle diverge par exemple en utilisant le critère de Cauchy. On a en effet : S2n−Sn=2n∑k=n+11k≥2n∑k=n+112n=n2n≥12.
Ainsi, en un point, si la divergence est nulle, alors la densité ne varie pas ; si elle est positive en ce point, alors il y a diffusion.
En mathématiques, une série est dite convergente si la suite de ses sommes partielles a une limite dans l'espace considéré. Dans le cas contraire, elle est dite divergente.
On dit qu'une suite un converge vers un réel L si pour tout intervalle ouvert U contenant L, tous les termes de la suite appartiennent à U sauf un nombre fini. L est la limite de la suite un et elle est unique. Une suite est divergente si elle n'est pas convergente.
On considère donc une série ∑ u n à termes réels. On a, pour tout : u n + ≤ | u n | et u n − ≤ | u n | . Ainsi, si la série ∑ | u n | est convergente, il en est de même des séries ∑ u n + et ∑ u n − , et donc de la série ∑ u n .
Pour calculer le rayon de convergence on fait souvent appel à la méthode suivante liée à la règle de d'Alembert. Pour z 0 = C ∗ , considérons la série à termes complexes ∑ a n z 0 n . Le terme général est u n = a n z 0 n .
Cette série n'est cependant que semi-convergente, et l'on peut, d'après le théorème de réarrangement de Riemann, la rendre divergente, ou la faire converger vers n'importe quel réel, en changeant l'ordre de ses termes.
Pour montrer que ( ) ne converge pas uniformément sur vers , il suffit de trouver une suite ( ) de points de telle que la suite ( f n ( x n ) − f ( x n ) ) ne tende pas vers 0 lorsque tend vers .
Pour démontrer qu'une suite de fonctions (fn) converge uniformément vers f sur I, on peut : étudier les variations de la fonction fn−f f n − f sur I (en la dérivant par exemple) afin de déterminer supx∈I|fn(x)−f(x)| sup x ∈ I | f n ( x ) − f ( x ) | et de démontrer que cette quantité tend vers 0 (voir cet exercice);
Si la suite est croissante et majorée, elle converge. Si la suite est décroissante et minorée, elle converge.
Pourquoi, lors du calcul d'une limite, la forme 1 puissance l'infini est une forme indéterminée ? Parce que 1∞ peut prendre n'importe quelle valeur réelle entre 0 et l'infini. Vous avez eu l'exemple de la suite (1+x/n)n ( 1 + x / n ) n qui tend vers ex quand n tend vers l'infini. Pourtant 1+x/n 1 + x / n tend vers 1.
La limite d'une fonction en un point peut ne pas exister pour une dernière raison. Au lieu de croître ou décroître sans borne, les images peuvent osciller et ne jamais converger vers une seule valeur.
On dit qu'une suite réelle diverge si elle ne converge pas. Une suite divergente peut soit avoir une limite infinie, soit n'avoir aucune limite.
La limite, notée , de la suite est la somme de la série ∑ u n . On écrit alors : s = ∑ 0 + ∞ u n .
Deux séries sont dites de même nature lorsqu'elles sont toutes les deux convergentes ou toutes les deux divergentes. Déterminer la nature d'une série c'est déterminer si elle converge ou si elle diverge.
Médiane : la valeur centrale d'une série statistique dont les valeurs observées ont été rangées dans l'ordre croissant, est la valeur qui partage la population étudiée en deux sous-ensembles de même effectif (si le nombre d'observations n est pair, la médiane est la demi-somme des termes de rang n et n + 1).